Çok değişkenli kalkülüs

Çok değişkenli kalkülüs veya Çok değişkenli hesaplama, matematik biliminin bir alt alanıdır. Bir değişkenli hesapların, birden fazla değişkenli fonksiyonlarla hesaplara yayılması ve tek değişken yerine çoklu değişken içeren fonksiyonların entegrasyonu olarak görülür. Matris, tensör, kısmi türev, çokkatlı integral, çizgi integrali, yüzey integrali, hacim integrali, Jacobi, Hesse, Gradyan gibi inceleme alanları vardır.^[1]

Tipik işlemler

Limit ve süreklilik

Çok değişkenli analizde limitler ve süreklilik çalışması, tek değişkenli fonksiyonlarla gösterilmeyen birçok sonuçları üretir.^[2]

Örneğin, kendi alanlarında farklı yollara yaklaşıldığında farklı sınırlar veren iki değişkenli skaler fonksiyonlar vardır. Örneğin, fonksiyon

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}$

noktaya orijinden geçen çizgiler boyunca yaklaştığında sıfıra ${\displaystyle (0,0)}$ yaklaşır/ (${\displaystyle y=kx}$) Ancak, orijine bir parabol ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$ boyunca yaklaştığında, fonksiyon değeri ${\displaystyle \pm 0.5}$ ile sınırlanır. Aynı noktaya doğru farklı yollar almak farklı limit değerleri verdiğinden, orada genel bir limit bulunmaz.

Her bir argümandaki sürekliliğin, çok değişkenli süreklilik için yeterli olmadığı da aşağıdaki örnekten görülebilir.^[2] Özellikle, gerçek değerli bir fonksiyonun, iki gerçek değerli parametre ile, ${\displaystyle f(x,y)}$, sabit ${\displaystyle y}$ için ${\displaystyle f}$ nin ${\displaystyle x}$ in devamlılığı ve sabit ${\displaystyle x}$ için ${\displaystyle f}$ nin ${\displaystyle y}$ nin devamlılığı, ${\displaystyle f}$ nin devamlılığı anlamına gelmez.

Kısmi türev

Ana madde: Kısmi türev

Çoklu entegrasyon

Ana madde: Çokkatlı integral

Çok boyutlı hesaplamaların temel teoremleri

• Gradyan teoremi
• Stokes teoremi
• Uzaklaşma teoremi
• Green teoremi

Uygulama alanları

Çok değişkenli analizin teknikleri, maddi dünyada ilgi duyulan birçok inceleyi gerçekleştirmek için kullanılır. Başta gelenleri şunlardır:

		Fonksiyon türleri	Uygulanabilir teknikler
Eğriler		${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$ iken	Eğrilerin uzunlukları, çizgi integralleri ve eğrilik.
Yüzeyler		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>2}$ iken	Yüzeylerin alanları, yüzey integralleri, yüzeyler boyunca akış ve eğrilik.
Sayıl alanlar		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$	Maksimum ve minimum, Lagrange çarpanları, yönlü türevler, seviye kümeleri.
Vektör alanı		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$	Gradyan, diverjans veya rotasyonel içeren herhangi bir vektör hesabı işlemi.