Нехай — деяка підмножина довільної множини . Функцію , означену таким чином:
називають характеристичною функцією або індикатором множини .
Альтернативними позначеннями індикатора множини є: або , а іноді навіть . Нотація Айверсона дозволяє позначення .
(Грецька літера походить від початкової букви грецького написання слова характеристика.)
Замітка. Позначення може означати тотожну функцію.
Відображення, яке пов'язує підмножину з її індикатором , є
ін'єкцією. Якщо і — дві підмножини , то
Загальніше, нехай — множина підмножин . Тоді для довільного
- — добуток нулів та одиниць. Цей добуток набуває значення 1 для тих , які не належать жодній множині , і 0 в іншому разі. Тому
Розкладаючи ліву частину, отримуємо
де — потужність . Це — одна з форм запису принципу включення-виключення. Отже, індикатор — корисне позначення в комбінаториці, яке використовують також і в інших областях, наприклад в теорії ймовірностей: якщо — ймовірнісний простір з ймовірнісною мірою , а — вимірна множина, то індикатор стає випадковою величиною, чиє математичне очікування дорівнює ймовірності
Дисперсія та коваріація для цієї випадкової змінної визначаються за формулами:
Позначення також використовують для позначення , характеристичної функції[en] в опуклому аналізі, яку означують як обернене до стандартного означення характеристичної функції.
Термін «характеристична функція» має незалежне значення в класичній теорії ймовірностей. З цієї причини традиційні ймовірнісники[en] використовують термін індикаторна функція майже ексклюзивно, тоді як математики в інших областях для опису функції, що вказує на приналежність до множини, використовують скоріше термін характеристична функція.
У нечіткій логіці та сучасній багатозначній логіці предикати є характеристичними функціями розподілу ймовірності. Тобто, строгу істинну/хибну оцінку предикату замінюють величиною, що інтерпретують як степінь істинності.
Для заданого ймовірнісного простору , та , індикаторну випадкову змінну означують як , якщо , інакше
- Середнє значення
- .
- Дисперсія
- .
- Коваріація
- .
Курт Гедель описав представляльну функцію[1][2][3] (англ. representing function) у своїй праці 1934 року «Про нерозв'язні твердження формальних математичних систем» (цю працю опубліковано на стор. 41-74 книжки «Нерозв'язне», «The Undecidable», під редагуванням Мартіна Девіса):
- «Кожному класові чи відношенню повинна відповідати представляльна функція , якщо та , якщо .» (стор. 42; «~» позначує логічне обернення, тобто «НЕ»).
Стівен Кліні (1952) (стор. 227) запропонував таке саме означення в контексті примітивно-рекурсивних функцій як функції від предикату , що набуває значення , якщо предикат є істинним, та , якщо предикат є хибним.
Наприклад, оскільки добуток характеристичних функцій , якщо будь-яка з ціх функцій дорівнює , то вона відіграє роль логічного АБО: ЯКЩО АБО АБО . . . АБО ТОДІ їх добуток дорівнює . Те, що видається сучасному читачеві як логічне обернення представляльної функції, тобто, що представляльна функція дорівнює , коли функція є «істинною» чи «вдоволеною», відіграє корисну роль в означенні Кліні логічних функцій «OR», «AND», та «IMPLY» (стор. 228), обмежених (стор. 228) та необмежених (стор. 279 і далі) μ-операторів (Кліні, 1952), та функції «CASE» (стор. 229).
В класичній математиці характеристичні функції множин набувають лише значень 1 (елемент) та 0 (не елемент). В теорії нечітких множин характеристичні функції узагальнюють до набування значень з дійсного одиничного проміжку [0, 1], або, загальніше, з деякої алгебри або структури[en] (яка зазвичай повинна бути щонайменше частково впорядкованою множиною або ґраткою). Такі узагальнені характеристичні функції частіше називають функціями належності, а відповідні «множини» називаються нечіткими множинами. Нечіткі множини моделюють поступову зміну ступеня істинності[en], що спостерігається у багатьох предикатів реального світу, таких як «високий», «теплий» тощо.
representing // Англійсько-українсько-англійський словник наукової мови (фізика та споріднені науки). Частина І англійсько-українська / уклад. О. Кочерга, Є. Мейнарович. — 2010.
| В іншому мовному розділі є повніша стаття Indicator function(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської. (квітень 2020)
- Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
- Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
- Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
- Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
- Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
|