Антикомутативність

Бінарна операція, що визначена в кільці, називається антикомутитивною, якщо в кільці виконується тотожність ${\displaystyle x^{2}=0}$. Із цього випливає тотожність ${\displaystyle xy+yx=0}$. Якщо ${\displaystyle 2=1+1}$ у кільці не є дільником нуля, то перша тотожність випливає з другої, і вони еквівалентні. Проте в загальному випадку це не так (наприклад, в алгебрах над полем характеристики ${\displaystyle 2}$ перша тотожність сильніша за другу).

Алгебри Лі й алгебри Мальцева за означенням мають антикомутативне множення.

Градуйована антикомутативність

Нехай ${\displaystyle \Omega =\oplus _{i}\Omega ^{i}}$ — градуйована алгебра. Множення в ${\displaystyle \Omega }$ називається градуйовано антикомутативним, якщо для будь-яких ${\displaystyle \omega _{m}\in \Omega ^{m}}$, ${\displaystyle \omega _{k}\in \Omega ^{k}}$

${\displaystyle \omega _{m}\omega _{k}+(-1)^{mk+1}\omega _{k}\omega _{m}=0}$

Приклади

• алгебра зовнішніх форм;
• алгебра диференціювань диференціальных форм;
• алгебра тангенціальнозначних форм;
• векторний добуток також антикомутативний.

Див. також

• Комутативність

Джерела

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Weisstein, Eric W. Anticommutative(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.