Асимптотичний розклад

Асимптотичний розклад функції f(x) — формальний функціональний ряд такий, що сума довільної скінченної кількості членів цього ряду апроксимує функцію f(x) в околі деякої (можливо нескінченно віддаленої) її граничної точки. Поняття асимптотичного розкладу функції і асимптотичного ряду були введені Анрі Пуанкаре при розвязуванні задач небесної механіки. Окремі випадки асимптотичного розкладу були відкриті і застосовувалися ще в 18 ст. Асимптотичні розклади і ряди відіграють важливу роль в різних задачах математики, механіки і фізики.

Означення

Нехай функції ${\displaystyle \varphi _{n}}$ задовольняють властивість: ${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\rightarrow L)\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ для деякої граничної точки L області визначення функції f(x). Послідовність функцій ${\displaystyle \varphi _{n}}$, що задовольняє вказані умови називається асимптотичною послідовністю. Ряд: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)}$ для якого виконуються умови

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\ (x\rightarrow L)}$

чи еквівалентно:

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\ (x\rightarrow L).}$

називається асимптотичним розкладом функції f(x) або її асимптотичним рядом.

Цей факт позначається:

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L).}$

Асимптотичний розклад Ердеї

Більш загально визначається асимптотичний розклад Ердеї. Ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)}$ називається асимптотичним розкладом Ердеї функції f(x), якщо існує така асимптотична послідовність ${\displaystyle \psi _{n}}$,що

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\psi _{N}(x))\ (x\rightarrow L).}$

Цей факт позначається:

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L)\quad \{\psi _{n}(x)\}.}$

Такий узагальнений розклад має багато спільних властивостей із звичайним асимптотичним розкладом проте теорія такий розкладів не є добре вивченою і багато з них є малокорисними для числових обчислень, що спричинило невелике їх використання.

Приклади

• Гамма-функція

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )}$

• Інтегральна показникова функція

${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\rightarrow \infty )}$

• Дзета-функція Рімана

${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}$
де ${\displaystyle B_{2m}}$ — числа Бернуллі і ${\displaystyle s^{\overline {2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots (s+2m-2)}$ . Цей розклад справедливий для всіх комплексних s.

• Функція помилок

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.}$

• Прикладом асимптотичного розкладу Ердеї, що не є звичайним розкладом є^[1]:

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x)^{n}}}\quad (x\rightarrow \infty )\ \{(\log x)^{-n}\}.}$