Гамма-функція

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Гамма (значення).

Гамма-функція (позначають великою літерою грецького алфавіту — Гамма, Γ) — один зі способів узагальнити функції факторіала до дійсних і комплексних чисел, із зсувом її аргумента на 1. Даніель Бернуллі вивів цю функцію для n, що є додатнім цілим числом,

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$

Гамма-функція на дійсній частині області значень

Гамма-функція мероморфна на всій комплексній площині

Хоча існують і інші подібні розширення, це конкретне визначення найбільш популярне й уживане. Гамма-функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім від'ємних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гамма-функцію визначають через збіжний невластивий інтеграл:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx=\int \limits _{0}^{1}{\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{z-1}\,dx}}$

Цю інтегральну функцію за допомогою аналітичного продовження можна розширити для всіх комплексних чисел, крім не додатних цілих (де функція має прості полюси), в результаті чого отримують мероморфну функцію яку називають гамма-функцією. Вона не має нулів, тож взаємна гамма функція 1/Γ(z) ― голоморфна функція. Гамма-функція відповідає перетворенню Мелліна для від'ємної показникової функції:

${\displaystyle \Gamma (z)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(z)}$

Гамма-функція ― складова частина різних функцій розподілу імовірностей, тож нею користуються в таких областях як теорія імовірностей і статистика, а також у комбінаториці.

Мотивування

Гамма-функція інтерполює функцію факторіала для не цілих значень.

Гамма функцію можна розглядати як розв'язок такої задачі інтерполяції:

«Необхідно знайти гладку функцію яка сполучає точки (x, y) задані відношенням y = (x − 1)! при додатних цілих значеннях змінної x.»

Графік перших кількох значень факторіала свідчить, що така крива існує, проте потрібно знайти формулу, яка точно її описує й у якій кількість операцій не залежить від розміру x. Формулу для факторіалу, x! = 1 × 2 × … × x, не можна застосувати напряму для не цілих значень x, адже вона дійсна лише коли x ― натуральне число (тобто, додатнє ціле). Не існує виразу для факторіала у вигляді скінченної комбінації елементарних операцій (додавання, множення, піднесення до степеня, експонент чи логарифмів), проте його можна узагальнити за допомогою інтегралів і границь із диференціального та інтегрального числення. Таким узагальненням є гамма-функція.^[1]

Існує багато способів поширити факторіал до не цілих значень: через множину окремих точок можна провести нескінченну кількість різних кривих. Гамма-функція ― одним із найкорисніших розв'язків цієї задачі на практиці, бо вона аналітична (крім області значень не додатних цілих).^[1] Ще одна важлива особливість цієї функції ― це те, що вона задовольняє рекурентне співвідношення, яке визначає аналогічну властивість функції факторіалу,

${\displaystyle f(1)=1,}$

${\displaystyle f(x+1)=xf(x),}$

для x, що дорівнює будь-якому додатному дійсному числу. Це дозволяє множити її із будь-якою періодичною аналітичною функцією, яка матиме значення одиниці для додатних цілих, наприклад така функція як e^{k sin mπx}.

Визначення

Основне визначення

Запис Γ(z) ввів Адрієн-Марі Лежандр.^[1] Якщо дійсна частина комплексного числа z додатня (Re(z) > 0), тоді інтеграл

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx}$

є абсолютно збіжним, і відомий як інтеграл Ойлера другого роду (інтеграл Ойлера першого роду визначає бета-функцію).^[1] Застосувавши інтегрування частинами, можна побачити, що:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\[4pt]&={\Big [}-x^{z}e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\[4pt]&=\lim _{x\to \infty }(-x^{z}e^{-x})-(0e^{-0})+z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{aligned}}}$

З'ясувавши, що ${\displaystyle -x^{z}e^{-x}\to 0}$, коли ${\displaystyle x\to \infty ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\\[6pt]&=z\Gamma (z)\end{aligned}}}$

Можемо розрахувати ${\displaystyle \Gamma (1){\text{:}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\[6pt]&={\Big [}-e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\lim _{x\to \infty }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\[6pt]&=0-(-1)\\[6pt]&=1\end{aligned}}}$

Маємо що ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$ і ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n),}$

${\displaystyle \Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!}$

для всіх додатних цілих чисел n. Це ― приклад доведення методом математичної індукції.

Інші визначення

Функція ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ― неперервне продовження факторіалу ${\displaystyle n!=1,2,...,n,}$ визначеного лише для значень ${\displaystyle n=1,2,...,}$ на усю площину ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексної змінної ${\displaystyle z=(x,y)=x+iy.}$ Функцію Ойлера ${\displaystyle \Gamma (z)}$ можна визначити однією з наведених нижче формул:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}dt,\quad \mathrm {Re} \,z=x>0,}$

${\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {1}{z+k}}+\int _{1}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}dt,\quad \quad \forall z\neq 0,-1,...}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {z(z+1)\cdot \cdot \cdot (z+k-1)}{k!k^{z-1}}}.}$

Вона задовільняє наступним співвідношенням:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z),}$

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},}$

${\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma (z)\Gamma (z+{\frac {1}{2}})={\sqrt {\pi }}\Gamma (2z).}$

Через те що ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!,}$ то ${\displaystyle \Gamma (z+1)}$ позначають як ${\displaystyle z!}$ Відповідно до визначення факторіалу, ${\displaystyle z!=\Gamma (z+1),\,0!=1.}$

Біноміальний коефіцієнт ${\displaystyle C_{z}^{n}}$ виражають через гамма-функцію як

${\displaystyle C_{z}^{n}={\frac {\Gamma (n+1)}{n!\Gamma (z-n+1)}}={\frac {z!}{n!(z-n)!}}={\frac {(-1)^{n}\Gamma (n-z)}{n!\Gamma (-z)}}.}$

Можна також подати інтеграл через гамма-функцію

${\displaystyle B(z,\vartheta )=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{\vartheta -1}dt,\quad \quad \mathrm {Re} \,\vartheta >0,}$

який має назву Бета-функції. Таким чином, ${\displaystyle B(z,\vartheta )={\frac {\Gamma (z)\Gamma (\vartheta )}{\Gamma (z+\vartheta )}}.}$ ^[2]

Ойлерове визначення як нескінченного добутку

Шукаючи наближення для z! для комплексного числа z, виявляється, що простіше спочатку порахувати n! для деякого великого цілого числа n, а потім використати це, щоб наблизити значення для (n+z)!, після чого використати рекурентну рівність m! = m (m−1)! у зворотньому порядку n разів, для того, щоб зрештою наблизити z!. Крім того, цей наблиз стає точним для границі, коли n прямує до нескінченності.

Зокрема, для деякого цілого числа m, буде так, що

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{m}}{(n+m)!}}=1\,,}$

і ми хочемо, щоб та сама рівність справджувалася, якщо довільне ціле m замінити на довільне комплексне число z

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$

Помноживши обидві частини на z!, отримаємо

${\displaystyle {\begin{aligned}z!&=\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}(n+1)^{z}\\[8pt]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left[\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]^{z}\\[8pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$

Ця формула із нескінченним добутком збіжна для всіх комплексних чисел z крім від'ємних цілих, адже за спроби використати рекурентне відношення m! = m (m − 1)! в зворотньому порядку до значення m = 0 призведе до ділення на нуль.

Подібно і гамма-функція, визначена, за Ойлером, як нескінченний добуток буде справедливою для всіх комплексних чисел ${\displaystyle z}$ за виключенням недодатних цілих:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\,.}$

При такій конструкції, гамма-функція ― єдина функція, яка одночасно задовольняє рівнянням ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$, ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ для всіх комплексних чисел ${\displaystyle z}$ крім недодатних цілих, і ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{(n-1)!\;n^{z}}}=1}$ для всіх комплексних чисел ${\displaystyle z}$.^[1]

Рівняння ${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ можна використати для однозначного розширення інтегральної формули для Γ(z) до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних чисел z, крім цілих, що менші або рівні нулю.^[1] Саме цю розширену версію зазвичай називають гамма-функцією.^[1]

Визначення Вейєрштрасса

Визначення гамма-функції, яку дав Вейєрштрасс, також справедливе для всіх комплексних чисел z, крім недодатних цілих:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}$

де ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$ — Стала Ейлера—Маскероні.^[1]

Множина визначення

Інтеграл, яким визначають гамма-функцію ― невластивий, і збігається за ${\displaystyle {\text{Re }}z>0\!}$. Однак, скориставшись рекурентним співвідношенням

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,}$

її можна продовжити на всю комплексну площину, крім точок ${\displaystyle z=-n\,}$, де ${\displaystyle n=0,1,2\ldots }$ .

Гамма-функція ― неперервною функцією з простору неперервних функціоналів Чебишова. Вона стійка за Адамаром, її можна виразити за третім законом Лопіталя.

Часткові значення

Особливо важливі часткові значення гама-функції в певних точках

${\displaystyle \Gamma (1)=0!=1\,}$ — за визначенням.

${\displaystyle \Gamma (2)=1\,}$

${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \Gamma (3/2)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\!}$ — див. також факторіал.

${\displaystyle \Gamma (n)\,\Gamma (1-n)={\frac {\pi }{\sin {(n\pi )}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-3)(2n-1){\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}}}}$, де ${\displaystyle n\!}$ ціле додатне число

Властивості

Загальні

Важливим функціональним рівнянням для гамма-функції Ойлерова формула відображення^[en]

${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$

з якої випливає:

${\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}$

і Формула подвоєння Лагранжа^[en]

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

Доведення Єйлерової формули відображення

Оскільки ${\displaystyle e^{-t}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n},}$ гамма-функцію можна представити як ${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{n}t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\,dt.}$ Проінтегрувавши по частинам ${\displaystyle n-1}$ разів, отримаємо ${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{nz}}{\frac {n-1}{n(z+1)}}{\frac {n-2}{n(z+2)}}\cdots {\frac {1}{n(z+n-1)}}\int _{0}^{n}t^{z+n-1}\,dt,}$ що дорівнює ${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n}}\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}n^{z+n}.}$ Це можна переписати наступним чином ${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k}{z+k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {z}{k}}}}.}$ Потім, використавши функціональне рівняння для гамма-функції, отримаємо ${\displaystyle -z\Gamma (-z)\Gamma (z)=\Gamma (1-z)\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}}}.}$ Використавши розкладання у ряд Фур'є, функцію ${\displaystyle \cos(ax)}$ можна представити наступним чином ${\displaystyle \cos(ax)={\frac {\sin(\pi a)}{\pi a}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {\sin(\pi (n+a))}{n+a}}+{\frac {\sin(\pi (n-a))}{n-a}}\right)\cos(nx),}$ де ${\displaystyle a\not \in \mathbb {Z} }$ і ${\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ]}$. Використавши тригонометричні тотожності, цей вираз можна спростити наступним чином: ${\displaystyle \cos(ax)={\frac {\sin(\pi a)}{\pi a}}+{\frac {2a\sin(\pi a)}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos(nx)}{a^{2}-n^{2}}}.}$ Якщо прийняти, що ${\displaystyle x=\pi }$ і розділити рівняння на ${\displaystyle \sin(\pi a)}$ отримаємо ${\displaystyle \pi \cot(\pi a)={\frac {1}{a}}+2a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a^{2}-n^{2}}}.}$ Тепер виконаємо заміну ${\displaystyle a={\frac {m}{\pi }}}$, щоб отримати ${\displaystyle \cot(m)={\frac {1}{m}}+2m\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}.}$ Проінтегрувавши обидві сторони по інтервалу від ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle z}$ і звівши до степеня, отримаємо ${\displaystyle {\frac {\sin(z)}{z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).}$ Тоді ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}}}.}$ Звідси випливає формула відображення Ейлера: ${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} .}$

Доведення формули множення Лагранжа

Бета-функцію можна представити наступним чином ${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt.}$ Якщо задати ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=z}$ отримаємо ${\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\,dt.}$ Виконавши заміну ${\displaystyle t={\frac {1+x}{2}}}$ отримаємо ${\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx.}$ Функція ${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)^{z-1}}$ є парною, оскільки ${\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma (2z)\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx.}$ Тепер припустимо ${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=\int _{0}^{1}t^{{\frac {1}{2}}-1}(1-t)^{z-1}\,dt,\quad t=s^{2}.}$ Тоді ${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=2\int _{0}^{1}\left(1-s^{2}\right)^{z-1}\,ds=2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx.}$ Звідси випливає ${\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma (2z)\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right).}$ Оскільки ${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma (z)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}},\quad \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$ звідси отримаємо формулу подвоєння Лагранжа: ${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

Формула подвоєння ― особливий випадок теореми про множення Лагранжа^[en](див.^[3], Eq. 5.5.6)

${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$

Проста, але корисна властивість, що випливає з визначення границі:

${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$

Зокрема, при z = a + bi, цей добуток дорівнює

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (a+bi)|^{2}&=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}\\[4pt]|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh {(\pi b)}}}\\[6pt]|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh {(\pi b)}}}\end{aligned}}}$

Одним із самих відомих значень гамма-функції для нецілого аргумента є:

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$

яке отримують, якщо задати z = 1/2 у формулах відображення або подвоєння, використавши рівняння для бета функції із x = y = 1/2, або виконавши заміну u = √x у визначенні інтегралу гамма-функції, із чого зрештою отримають Гаусів інтеграл. У загальному випадку, для невід'ємних цілих чисел n маємо:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!}}\end{aligned}}}$

де n!! позначає подвійний факторіал від n. Коли n = 0, n!! = 1.

Може здаватися, що поглянувши на формулу результат Γ(1/2) = √π можна узагальнити для інших окремих значень Γ(r), де r ― раціональне число. Однак ці числа не можна виразити через самих себе в рамках елементарних функцій. Доведено, що Γ(n + r) є трансцендентним числом і алгебрично незалежним від π для будь-якого цілого n і будь-якого дробу із r = 1/6, 1/4, 1/3, 2/3, 3/4, 5/6.^[4] У загальному випадку, для розрахунку значень гамма-функції необхідно застосовувати числове наближення.

Інша корисна границя для асимптотичного наближення:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} }$

Похідні гамма-функції можна описати за допомогою полігамма-функції. Наприклад:

${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).}$

Для додатного цілого числа m похідну гамма-функції можна розрахувати наступним чином (тут γ це Стала Ойлера—Маскероні):

${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.}$

Для Re(x) > 0 n-а похідна гамма-функції дорівнює:

Похідна функції Γ(z)

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.}$

(Це можна отримати за допомогою диференціювання інтегралу для гамма-функції по змінній x, і використавши інтегральне правило Лейбніца.)

Використавши рівняння

${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \limits _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}}$

де ζ(z) — дзета-функція Рімана, із розбиттям

${\displaystyle \pi =(\underbrace {a_{1},\dots ,a_{1}} _{k_{1}},\dots ,\underbrace {a_{r},\dots ,a_{r}} _{k_{r}}),}$

зокрема маємо

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$

Нерівності

Якщо обмежитися додатними цілими числами, гамма-функція є суворо логарифмічно опуклою функцією. Цю властивість можна визначити за допомогою трьох наведених еквівалентних нерівностей:

• Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x₁ і x₂, і для будь-якого t ∈ [0, 1],

${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$

Крім того, ця нерівність буде точною для t ∈ (0, 1).

• Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x і y при y > x,

${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}\right).}$

• Для будь-якого додатного дійсного числа x,

${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x).}$

Останні два твердження, випливають із визначення, так само як і твердження, що ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$, де ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ це полігамма-функція порядку 1. Щоб довести логарифмічну опуклість гамма-функції достатньо спостерігати, що ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ має ряд подань, для яких за додатнього дійсного x вона складається лише із додатних членів.

Логарифмічна опуклість і нерівність Єнсена разом означають, що для будь-яких додатних дійсних чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ and ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$,

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$

Існують також обмеження відношення гамма-функцій. Найвідомішим є Нерівність Гаутсі^[en], яка стверджує, що для будь-якого додатного цілого числа x і будь-якогоs ∈ (0, 1),

${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}$

Формула Стірлінґа

Представлення гамма-функції у комплексній площині. Кожна точка ${\displaystyle z}$ забарвлена відповідно до значення аргумента ${\displaystyle \Gamma (z)}$. Також показано контурний графік для модуля ${\displaystyle |\Gamma (z)|}$.

3-вимірний графік абсолютних значень комплексної гамма-функції

Поведінка функції ${\displaystyle \Gamma (z)}$ для зростаючих цілих значень змінної проста: вона зростає досить швидко — швидше за показникову функцію. Асимптотично при ${\displaystyle z\to \infty }$, величину гамма-функції задають за допомогою формули Стірлінґа

${\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}$

де символ ${\displaystyle \sim }$ задає відношення з яким обидві сторони збігаються до 1^[1] або асимптотично сходяться.

Наближення

Порівняння гамма-функціх (синя лінія) із факторіалом (сині точки) і наближення Стірлінга (червона лінія)

Комплексні значення гамма-функції можна обчислити чисельним способом із довільною точністю використовуючи формулу Стірлінга або наближення Ланцоса^[en].

Гамма-функцію можна обрахувати із сталою точністю для Re(z) ∈ [1,2] застосувавши до інтеграла Ойлера метод інтегрування частинами. Для будь-якого додатнього числа x гамма-функцію можна записати як

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$

Коли Re(z) ∈ [1,2] і x ≥ 1, абсолютне значення останнього інтегралу менше за (x + 1)e^−x. Якщо вибрати достатньо велике x, цей вираз може бути меншим за 2^−N для будь-якого бажаного значення N. Тож, за допомогою вищевказаного ряду гамма-функцію можна обрахувати до N бітів точності.

Швидкий алгоритм для розрахунку Ойлерової гамма-функції для будь-якого алгебричного аргументу (в тому числі раціонального) Е. А. Карацуба,^[5][6][7]

Для аргументів, які є цілими кратними для 1/24, гамма-функцію також можна швидко розрахувати використавши ітерації для середнього арифметико-геометричного.

Застосування для формули Стірлінга

Наступний розклад в ряд гамма-функції для великих цілих ${\displaystyle x\!}$ дає асимптотичний вираз для формули Стірлінга, що використовується для обчислення факторіалу цілого числа.

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+O\left(n^{-5}\right)\right)}$

Історія

Позначення гама-функції ввів у обіг Лежандр.

Див. також

• Полігамма-функція
• Бета-функція
• Невластивий інтеграл
• Інтеграл Рімана
• Інтегральне числення
• Бор-Молерупова теорема
• Неповна гамма-функція
• Сума Гаусса

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х. {{cite book}}: Перевірте значення |isbn=: недійсний символ (довідка)
• E.T. Whittaker, G. N. Watson(інші мови). A Course of Modern Analysis. — 5th. — Cambridge, 1902,1927. — 668 с.(англ.)