Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи
Варіація функції
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Remove ads
Варіацією функції називається числова характеристика функції однієї дійсної змінної, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на дійсній прямій в є узагальненням поняття довжини кривої.
Remove ads
Означення
Нехай . Тоді варіацією (також повною варіацією або повною зміною) функції на відрізку називається наступна величина:
тобто точна верхня грань за всіма розбиттями відрізка довжин ламаних у , кінці яких відповідають значенням у точках розбиття.
Remove ads
Пов'язані означення
- Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації, а клас таких функцій позначається або просто .
- У такому випадку визначена функція , що називається функцією повної варіації для .
- Додатна варіація дійснозначної функції на відрізку називається наступна величина:
- Аналогічно означається від'ємна варіація функції:
- Таким чином повна варіація функції може бути представлена у вигляді суми
Remove ads
Властивості функцій обмеженої варіації
Узагальнити
Перспектива
- Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу ), якщо модуль знаменника на відрізку буде більше, ніж позитивна стала.
- Якщо , а , то .
- Якщо функція неперервна в точці справа і належить , то .
- Функція , задана на відрізку , є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на функції (розклад Жордана).
- Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж зліченну множину точок розриву, причому всі першого роду.
- Функція обмеженої варіації може бути представлена у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розклад Лебега).
Remove ads
Обчислення варіації
Варіація неперервно диференційовної функції
Якщо функція належить до класу , тобто має неперервну похідну першого порядку на відрізку , то — функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обраховується за формулою:
Remove ads
Історія
Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом[1].
Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є -періодичних функцій класу збігаються в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різноманітних галузях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.
Remove ads
Узагальнення
Узагальнити
Перспектива
Довжина кривої означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.
У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції:
- варіація Фреше,
- плоска варіація Тонеллі.
Φ-варіація функції
Властивості
Якщо розглядати дві функції і такі, що
то для їх -варіацій справедливе відношення:
Зокрема,
при .
Remove ads
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
- Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
- Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
- Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 550+ с.(укр.)
- Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций.
Remove ads
Примітки
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads