Вкорочувальний потік

Вкорочувальний потік — процес, що змінює гладку криву на площині переміщенням її точок перпендикулярно до кривої зі швидкістю, що дорівнює її кривині.

Вкорочувальний потік вивчається переважно як найпростіший приклад геометричного потоку^[en], зокрема дозволяє відпрацювати техніку для роботи з потоком Річчі і з потоком середньої кривини.

Рівняння

Однопараметричне сімейство кривих ${\displaystyle \gamma _{t}}$ є розв'язком вкорочувального потоку, якщо для будь-якого значення параметра ${\displaystyle \tau }$ маємо

${\displaystyle {\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t}}=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),}$

де ${\displaystyle \kappa _{t}(\tau )}$ — кривина зі знаком кривої ${\displaystyle \gamma _{t}}$ у точці ${\displaystyle \gamma _{t}(\tau )}$ і ${\displaystyle n_{t}(\tau )}$ — одиничний вектор нормалі до кривої ${\displaystyle \gamma _{t}}$ у точці ${\displaystyle \gamma _{t}(\tau )}$.

Властивості

• Якщо початкова крива проста і замкнута, вона залишається такою під впливом вкорочувального потоку.
• Для простої замкнутої кривої ${\displaystyle \gamma _{0}}$ вкорочувальний потік ${\displaystyle \gamma _{t}}$ визначено на максимальному інтервалі ${\displaystyle t\in [0,T)}$.
  • При ${\displaystyle t\to T}$ крива ${\displaystyle \gamma _{t}}$ стягується в точку.
• Площа обмежена кривою зменшується зі сталою швидкістю.

  ${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .}$

  • Зокрема момент стягування в точку повністю визначений площею, обмеженою кривою: ${\displaystyle T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}}$.
• Якщо початкова крива не є опуклою, її максимальне абсолютне значення кривини зменшується монотонно, доки вона стане опуклою.
• Для опуклої кривої ізопериметричне відношення зменшується, і перш ніж зникнути в точці сингулярності, крива прямує формою до кола^[1].
• Дві прості гладкі замкнуті криві, що не перетинаються, залишаються неперетинними, поки одна з них не стягнеться в точку.
• Коло — єдина проста замкнута крива, яка зберігає свою форму в потоці.
  • Деякі криві зі самоперетинами, а також криві нескінченної довжини, зберігають форму.

Застосування

• Вкорочувальний потік на сфері дає одне з доведень задачі Арнольда про існування хоча б чотирьох точок перегину в будь-якій гладкій кривій, яка розрізає сферу на рівновеликі диски^[2].