Від'ємний біноміальний розподіл

Від’ємний біноміальний розподіл в теорії імовірностей — розподіл дискретної випадкової величини, рівної кількості невдач в послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху ${\displaystyle p}$, проведеній до ${\displaystyle r}$-го успіху.

Від'ємний біноміальний розподіл
Функція ймовірностей Помаранчева лінія показує математичне сподівання, яке для усіх малюнків дорівнює 10; зелена лінія показує стандартне відхилення.
Параметри	r > 0 — кількість невдач до зупинки експерименту (ціле число, але означення може бути також розширене на дійсні числа) p ∈ [0,1] — ймовірність успіху в кожному випробуванні (дійсне число)
Носій функції	k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } — число успіхів
Розподіл імовірностей	${\displaystyle k\mapsto C_{k+r-1}^{k}(1-p)^{k}p^{r},}$ де ${\displaystyle C}$ — біноміальний коефіцієнт
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),}$ де ${\displaystyle I}$ — регуляризована неповна бета-функція
Середнє	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}$
Мода	${\displaystyle {\begin{cases}{\big \lfloor }{\frac {(r-1)(1-p)}{p}}{\big \rfloor }&{\text{якщо}}\ r>1\\0&{\text{якщо}}\ r\leq 1\end{cases}}}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {1+p}{\sqrt {pr}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{(1-p)r}}}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ для }}t<-\log p}$
Характеристична функція	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ при }}t\in \mathbb {R} }$
Генератриса (pgf)	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)z}}{\biggr )}^{\!r},|z|<{\frac {1}{p}}}$
Інформація за Фішером	${\displaystyle {\frac {r}{(1-p)^{2}p}}}$

Означення

Нехай ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — послідовність незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі, тобто

${\displaystyle X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N} .}$

Побудуємо випадкову величину ${\displaystyle Y}$ наступним чином. Нехай ${\displaystyle k+r}$ — номер ${\displaystyle r}$-го успіху в цій послідовності. Тоді ${\displaystyle Y=k}$. Більш строго, покладемо ${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$. Тоді

${\displaystyle Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r}$.

Розподіл випадкової величини ${\displaystyle Y}$, визначеної таким чином, називається від’ємним біноміальним. Пишуть: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {NB} (r,p)}$.

Функції ймовірності і розподілу

Функція ймовірностей випадкової величини ${\displaystyle Y}$ має вигляд:

${\displaystyle \mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k}}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2,\ldots }$.

Функція розподілу ${\displaystyle Y}$ кусково-постійна, і її значення в цілих точках може бути виражене через неповну бета-функцію:

${\displaystyle F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)}$.

Моменти

Твірна функція моментів від’ємного біноміального розподілу має вигляд:

${\displaystyle M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}}$,

звідки

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=r{\frac {q}{p}}}$,