Геометрична ймовірність

Геометрична ймовірність — це поняття ймовірності, що запроваджується так: Нехай ${\displaystyle \Omega }$ — деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія ${\displaystyle A}$ — підмножина ${\displaystyle \Omega }$. Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою: ${\displaystyle P(A)={\frac {m(A)}{m(\Omega )}}}$ де ${\displaystyle m(A),\,m(\Omega )}$ — довжина, площа чи об'єм множин ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle \Omega }$.

Це пов'язане з інтерпретацією ймовірності як міри на обраному просторі елементарних подій. В даному випадку він збігається з евклідовим простором.

Використання геометричної ймовірності

• Голка Бюффона: Яка ймовірність того, що голка кинута на поверхню розграфлену паралельними прямими розташованими через однакові проміжки перетне одну з цих прямих?
• Парадокс Бертрана: Яке матсподівання довжини випадково обраної хорди на одиничному колі?
• Яка ймовірність того, що три випадково обрані на площині точки формують гострокутній трикутник?
• Та подібні…

Формально

Стохастичний експеримент полягає в обранні навмання точки з множини ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. За його математичну модель прийнято розглядати ймовірнісний простір ${\displaystyle \{B,{\mathfrak {B}}_{B}^{n},P\}}$, де ${\displaystyle B}$ — борелева множина з ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{B}^{n}}$ — клас борелевих підмножин множини ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle P}$ — ймовірність на класі ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{B}^{n}}$, яка для кожного ${\displaystyle A}$ з цього класу визначається рівністю:

${\displaystyle P(A)={\frac {L(A)}{L(B)}}}$,

де ${\displaystyle L}$ — міра Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (значення ${\displaystyle L}$ на паралелепіпедах ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}$, дорівнює ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})}$).

Так визначену ймовірність назвемо геометричною (зрозуміло, що множина ${\displaystyle B}$ має задовольняти умову ${\displaystyle 0<L(B)<\infty }$.

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)
• Шефтель З. Г. Теорія ймовірностей. — 2-е. — Київ : Вища школа, 1994. — 192 с.(укр.)
• Скороход А. В. Теорія ймовірностей: збірник задач. — Київ : Вища школа, 1976. — 384 с.
• УІТО: Теорія ймовірності та математична статистика — Термінологічний словник^{[недоступне посилання з травня 2019]}
• Турчин В.М. (2003). Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі (укр) . Київ: А.С.К. ISBN 966-319-002-7.