Гомеоморфізм

Щодо гомеоморфізму в теорії графів див. Гомеоморфізм (теорія графів).

Класичний приклад гомеоморфізму: кухоль і бублик топологічно еквівалентні

Трилисник топологічно гомеоморфний тору. На перший погляд це здається нелогічним, але в чотиривимірному просторі вони неперервно деформуються один в другий

Не плутати з гомоморфізмом.

Топологічна еквівалентність перенаправляється сюди.

Для топологічної еквівалентності в динамічних системах, див. Топологічна спряженість.

У математичній частині топології гомеоморфізм, топологічний ізоморфізм або неперервна в обох напрямках функція — це неперервна функція між топологічними просторами, яка має неперервну обернену функцію. Гомеоморфізми є ізоморфізмами в категорії топологічних просторів, тобто відображення, що зберігають усі топологічні властивості^[en] заданого простору. Два простори з гомеоморфізмом між ними називаються гомеоморфними, і з топологічної точки зору вони однакові. Слово гомеоморфізм походить від грецьких слів homoios (подібний) і morphe (форма) і було введено у математику в 1895 році Анрі Пуанкаре.^[1][2]

Грубо кажучи, топологічний простір — це геометричний об'єкт, а гомеоморфізм — це неперервне розтягування і вигинання об'єкта в нову форму. Таким чином, квадрат і коло гомеоморфні один одному, а сфера і тор — ні. Однак цей опис може бути хибним. Деякі неперервні деформації не є гомеоморфізмами, наприклад, деформація прямої в точку. Деякі гомеоморфізми не є неперервними деформаціями, наприклад, гомеоморфізм між вузлом трилисника і колом. Часто повторюваний математичний жарт полягає в тому, що топологи не можуть відрізнити чашку кави від пончика,^[3] оскільки досить пластичному пончику можна надати форму чашки для кави, створивши ямку та поступово збільшуючи її, зберігаючи при цьому отвір для пончика в ручці чашки.

Означення

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ і ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}$ — два топологічні простори.

Функція ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ називається гомеоморфізмом, якщо вона взаємно однозначна, а також ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle f^{-1}}$ неперервні.

Простори ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ у цьому випадку називаються гомеоморфними або топологічно еквівалентними.

Гомеоморфізм іноді називають взаємно неперервною функцією. Якщо така функція існує, то простори ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ є гомеоморфними. Автогомеоморфізм — це гомеоморфізм з топологічного простору на себе. Бути гомеоморфним — це відношення еквівалентності на топологічних просторах. Такі класи еквівалентності називаються гомеоморфними класами.

Властивості

• Два гомеоморфні простори мають однакові топологічні властивості^[en]. Наприклад, якщо один з них компактний, то і другий також компактний; якщо один з них зв'язний, то й другий також зв'язний; якщо один з них хаусдорфів, то й інший також хаусдорфів; їхні гомотопічні та гомологічні групи співпадають. Варто зауважити, що це не поширюється на властивості, які визначені за допомогою метрики; існують метричні простори, які є гомеоморфними, хоча один з них є повним, а інший — ні.
• Гомеоморфізм є одночасно відкритим^[en] і закритим^[en] відображенням; тобто він відображає відкриті множини у відкриті множини і замкнені множини у замкнені множини.
• Будь-який автогомеоморфізм на ${\displaystyle S^{1}}$ можна розширити до автогомеоморфізму на усьому диску ${\displaystyle D^{2}}$ Трюк Александра^[en].

Приклади

• Довільний відкритий інтервал ${\displaystyle ]a,b[\subset \mathbb {R} }$ гомеоморфний всій числовій прямій ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Гомеоморфізм ${\displaystyle f\colon ]a,b[\to \mathbb {R} }$ задається, наприклад, формулою

${\displaystyle f(x)=\mathrm {ctg} \left(\pi {\frac {x-a}{b-a}}\right).}$

• Одиничний двовимірний диск ${\displaystyle D^{2}}$ і одиничний квадрат в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ є гомеоморфними, оскільки одиничний диск можна деформувати в одиничний квадрат. Прикладом взаємно неперервного відображення квадрату в диск в полярних координатах є

${\displaystyle (\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right)}$.

• Графік диференційованої функції гомеоморфний області визначення цієї функції.
• Два гомеоморфних простори мають однакові топологічні властивості.
• Наприклад, якщо один компактний, інший компактний теж; якщо один є зв'язним, зв'язним буде і другий; якщо один є гаусдорфовим, інший буде теж; їхні гомологічні групи збігатимуться.
• Але це не поширюється на властивості, похідні від метрики; з двох метричних гомеоморфних просторів один може бути повним, в той час як другий — ні.
• Гомеоморфізм відображає відкриті множини на відкриті, і замкнені множини — на замкнені.
• Стереографічна проєкція — це гомеоморфізм між одиничною сферою в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ з вилученою точкою і сукупністю всіх точок двовимірної площини ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• Якщо ${\displaystyle G}$ — топологічна група, то її відображення інверсії ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ є гомоморфізмом.

Також для будь-яких ${\displaystyle x\in G}$ лівий зсув ${\displaystyle y\mapsto xy}$, правий зсув ${\displaystyle y\mapsto yx}$, і внутрішній автоморфізм ${\displaystyle y\mapsto xyx^{-1}}$ є гомеоморфізмами.

Приклади відсутності гомеоморфізму

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ і ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ не є гомоморфізмом при ${\displaystyle m\neq n}$.
• Евклідова дійсна пряма негомеоморфна одиничному колу як підпростору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, оскільки одиничне коло є компактом як підпростір евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, а дійсна пряма лінія не є компактом.
• Одновимірні інтервали ${\displaystyle [0,1]}$ і ${\displaystyle (0,1)}$ не є гомеоморфними, оскільки неможливо побудувати неперервну бієкцію.^[4]

Теорема про гомеоморфізм

Нехай ${\displaystyle |a,b|\subset \mathbb {R} }$ — інтервал на числовій прямій (відкритий, напіввідкритий або замкнутий).

Нехай ${\displaystyle f\colon |a,b|\to f{\bigl (}|a,b|{\bigr )}\subset \mathbb {R} }$ — бієкція.

Тоді ${\displaystyle f}$ є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle f}$ є строго монотонна і неперервна на ${\displaystyle |a,b|}$.

Зауваження

Третя умова щодо неперервності відображення ${\displaystyle f^{-1}}$ є суттєвою. Розглянемо, наприклад, функцію ${\displaystyle f\colon (0,2\pi ]\to S^{1}}$ (${\displaystyle S^{1}}$ — одиничне коло в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) визначену як ${\displaystyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$. Ця функція є бієктивною і неперервною, але не є гомеоморфізмом компактом, а ${\displaystyle [0,2\pi )}$ — ні). Функція ${\displaystyle f^{-1}}$ не є неперервною в точці ${\displaystyle (1;0)}$ тому, що хоча ${\displaystyle f^{-1}}$ відображає ${\displaystyle (1;0)}$ в ${\displaystyle 0}$, але будь-який окіл цієї точки також включає точки, які функція відображає в точки близькі до ${\displaystyle 2\pi }$. При цьому точки, які вона відображає у числа між ними, лежать за межами цього околу.^[5]

Гомеоморфізми — це ізоморфізм в категорії топологічних просторів.

Таким чином, композиція двох гомеоморфізмів знову є гомеоморфізмом, і множина всіх автогомеоморфізмів ${\displaystyle X\to X}$ утворює групу, яку називають групою гомеоморфізмів^[en] топологічного простору ${\displaystyle X}$, яку часто позначають ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)}$. На цій групі можна задати топологію, наприклад, компактно-відкриту топологію, яка за певних припущень робить її топологічною групою.^[6]

Для деяких цілей гомоморфічна група виявляється занадто великою, але за допомогою ізотопічного співвідношення можна звести цю групу до групи класів відображень^[en]. Аналогічно, як зазвичай в теорії категорій, для заданих двох гомеоморфних просторів простір гомеоморфізмів ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X,Y)}$ між ними є торсором^[en] для груп гомеоморфізмів ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)}$ і ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (Y)}$ і, враховуючи певний гомеоморфізм між ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$, всі три множини є ідентифікованими.

Неформальна дискусія

Інтуїтивний критерій розтягування, згинання, розрізання та зворотнього склеювання вимагає певної практики для правильного застосування, з опису вище — може бути неочевидним, наприклад, що деформація відрізка прямої до точки неприпустима. Тому важливо розуміти, що це має наведене вище формальне означення. У цьому випадку, наприклад, відрізок прямої має нескінченну кількість точок, і тому для нього не можна побудувати бієкцію з множиною, що містить лише скінченну кількість точок, зокрема і одну точку.

Така характеристика гомеоморфізму часто призводить до плутанини з поняттям гомотопії, яка насправді визначається, як неперервна деформація, але від однієї функції до іншої, а не від одного простору до іншого. У випадку гомеоморфізму уявлення про неперервну деформацію — це розумовий інструмент для відстеження того, які точки простору ${\displaystyle X}$ відповідають яким точкам простору ${\displaystyle Y}$ — потрібно лише слідкувати за ними по мірі деформації простору ${\displaystyle X}$. У випадку гомотопії неперервна деформація від одного відображення до іншого має істотне значення, і воно також менш обмежувальне, оскільки жодне із залучених відображень не повинне бути один-до-одного або на. Гомотопія дійсно призводить до відношення на просторах: гомотопічна еквівалентність.

Існує назва для виду деформації, пов'язаної з візуалізацією гомеоморфізму. Це (за винятком випадків, коли потрібні розрізати та повторно склеювати) ізотопія між тотожним відображенням на ${\displaystyle X}$ та гомеоморфізмом з ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.

Див. також

• Локальний гомеоморфізм
• Диффеоморфізм — ізоморфізм гладких многовидів; гладка бієкція з гладкою інверсією.
• Рівномірний ізоморфізм — рівномірний неперервний гомеоморфізм — це ізоморфізм між рівномірними просторами.
• Ізометричний ізоморфізм — це ізоморфізм між метричними просторами.
• Група гомеоморфізму^[en].
• Скрут Дена^[en].
• Гомеоморфізм (теорія графів) — поняття в теорії графів (тісно пов'язане з поділом графів).
• Гомотопія, ізотопія — неперервна деформація між двома неперервними функціями.
• Група класів відображень — група ізотопічних класів групи топологічних автоморфізмів.
• Гіпотеза Пуанкаре — теорема геометричної топології, сформульована Анрі Пуанкаре і доведена Григорієм Перельманом.
• Універсальний гомеоморфізм^[en].