Локальний гомеоморфізм

У математиці, більш детально топології, локальний гомеоморфізм є функція між топологічними просторами що, інтуїтивно, зберігає локальну структуру.

Означення

Нехай ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ — топологічні простіори. Відображення ${\displaystyle f:X\to Y\,}$ називається локальним гомеоморфізмом ^[1] якщо для кожної точки ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X}$ існує відкрита множина ${\displaystyle U}$, що містить ${\displaystyle X}$, така що образ ${\displaystyle f(U)}$ є відкритою підмножиною в ${\displaystyle Y}$ і обмеження ${\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)\,}$ є гомеоморфізмом.

Приклади

• За означенням, кожен гомеоморфізм є також локальним гомеоморфізмом.
• Якщо ${\displaystyle U}$ є відкритою підмножиною ${\displaystyle Y}$ з індукованою топологією, тоді відображення включення ${\displaystyle i:U\to Y}$ є локальним гомеоморфізмом. Факт, що ${\displaystyle U}$ є відкритою підмножиною є важливим, в іншому випадку включення не є локальним гомеоморфізмом.
• Нехай ${\displaystyle f:R\to S_{1}}$ — відображення дійсної прямої в коло задане як ${\displaystyle f(t)=e^{it}}$ для всіх ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$). Це відображення є локальним гомеоморфізмом але не гомеоморфізмом.
• Нехай ${\displaystyle f:S_{1}\to S_{1}}$ — неперервне відображення кола в себе ${\displaystyle n}$. Це відображення є локальним гомеоморфізмом для всіх ненульових ${\displaystyle n}$, а гомеоморфізмом є тільки у випадках коли ${\displaystyle n}$ = 1 чи -1.
• Більш загально, будь-яке накриття є локальним гомеоморфізмом; зокрема, універсальне накриття ${\displaystyle p:C\to Y}$ простору ${\displaystyle Y}$ є локальним гомеоморфізмом. В деяких випадках справедливим є і обернене твердження. Наприклад: якщо ${\displaystyle X}$ є гаусдорфовим простором і ${\displaystyle Y}$ є локально компактним і гаусдорфовим і ${\displaystyle p:X\to Y}$ є власним локальний гомеоморфізмом, тоді ${\displaystyle p}$ є відображенням накриття.

• У комплексному аналізі голоморфна функція ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ (де ${\displaystyle U}$ є відкритою підмножиною комплексної площини ${\displaystyle \mathbb {C} }$) є локальним гомеоморфізмом тоді і тільки тоді коли похідна ${\displaystyle f'(z)}$ є ненульовою для всіх ${\displaystyle z\in U}$. Функція ${\displaystyle f(z)=z^{n}}$ на відкритому крузі із центром 0 не є локальним гомеоморфізмом в 0 коли ${\displaystyle n}$ є не меншим 2.

• З використанням теореми про обернену функцію можна довести, що неперервно диференційовна функція ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ (де ${\displaystyle U}$ є відкритою підмножиною ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) є локальним гомеоморфізмом якщо і тільки якщо похідна ${\displaystyle D_{x}f}$ є невиродженим лінійним відображенням (невиродженою квадратною матрицею) для кожного ${\displaystyle x\in U}$. Аналогічне твердження є справедливим для відображень між диференційовними многовидами.

Властивості

• Довільний локальний гомеоморфізм є неперервним і відкритим відображенням. Бієктивний локальний гомеоморфізм є гомеоморфізмом.

Локальний гомеоморфізм ${\displaystyle f:X\to Y}$ зберігає "локальні" топологічні властивості:

• ${\displaystyle X}$ є локально зв'язаним простором якщо і тільки якщо ${\displaystyle f(X)}$ є локально зв'язаним
• ${\displaystyle X}$ є локально лінійно зв'язаним якщо і тільки якщо ${\displaystyle f(X)}$ є локально лінійно зв'язаним
• ${\displaystyle X}$ є локально компактний простір якщо і тільки якщо ${\displaystyle f(X)}$ є локально компактним
• ${\displaystyle X}$ є простором із першою аксіомою зліченності якщо і тільки якщо ${\displaystyle f(X)}$ є таким простором

• Якщо ${\displaystyle f:X\to Y}$ є локальним гомеоморфізмом і ${\displaystyle U}$ є відкритою підмножиною ${\displaystyle X}$, тоді обмеження ${\displaystyle f|_{U}}$ є локальним гомеоморфізмом.

• Якщо ${\displaystyle f:X\to Y}$ і ${\displaystyle g:Y\to Z}$ є локальними гомеоморфізмами, тоді композиція ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ також є локальним гомеоморфізмом.