Гравітаційний парадокс

Гравітаційний парадокс, або парадокс Неймана — Зеелігера — історична космологічна проблема, яка випливає із класичної теорії тяжіння^[1] і яку можна сформулювати таким чином:

У нескінченному Всесвіті з евклідовою геометрією і ненульовою середньою густиною речовини гравітаційний потенціал усюди набуває нескінченних значень.

Гуго фон Зеелігер

Парадокс названо на честь німецьких вчених Карла Неймана і Гуго Зеелігера, які його опублікували наприкінці XIX-го сторіччя^[2]. Гравітаційний парадокс виявився найсерйознішим ускладненням теорії тяжіння Ньютона, і обговорення цієї теми відіграло значну роль в усвідомленні науковим співтовариством того факту, що класична теорія тяжіння непридатна для вирішення космологічних проблем^[3]. Численні спроби поліпшити теорію тяжіння увінчалися успіхом у 1915 році, коли Альберт Ейнштейн завершив розробку загальної теорії відносності, в якій цей парадокс відсутній^[4].

Історія появи

Якщо густина речовини ρ довільно розподілена в просторі, то гравітаційне поле, яке вона створює, у класичній теорії визначається гравітаційним потенціалом φ. Щоб знайти цей потенціал треба розв'язати рівняння Пуассона^[1]:

${\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi G\rho ,}$

Тут ${\displaystyle G}$ - гравітаційна стала. Загальне рішення цього рівняння можна записати у вигляді^[1]:

${\displaystyle \varphi =-G\int {\frac {\rho dV}{r}}+C,}$

(1)

де r - відстань між елементом об'єму dV і точкою, в якій визначається потенціал φ, С - довільна стала.

У 1894—1896 роках німецькі вчені Карл Нейман і Гуго Зеелігер, незалежно один від одного, проаналізували поведінку інтеграла у формулі (1) для всього нескінченного Всесвіту. Вони з'ясували, що якщо середня густина речовини у Всесвіті ненульова, то інтеграл розходиться. Ба більше, щоб потенціал набув скінченного значення, необхідно^[1], щоб середня густина речовини у Всесвіті зі зростанням ${\displaystyle r}$ зменшувалась швидше, ніж ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}.}$ Якщо зазначену умову порушено, то, як показав Зеелігер, залежно від способу переходу до межі в інтегралі сила тяжіння, що діє на довільне тіло, може набувати будь-якого значення, зокрема, нескінченного^[5].

Зеелігер зробив висновок, що зі зростанням масштабу у Всесвіті середня густина речовини має швидко зменшуватись і на межі прямувати до нуля. Цей висновок суперечив традиційним уявленням про нескінченність й однорідність Всесвіту та породжував сумнів у тому, чи можна за допомогою ньютонівської теорії досліджувати космологічні проблеми^[6].

Пропозиції щодо вирішення проблеми

На межі XIX-XX століть було запропоновано кілька варіантів вирішення проблеми.

Скінченна маса речовини

Найпростіше припустити, що у Всесвіті існує лише скінченна кількість речовини. Цю гіпотезу розглядав ще Ісаак Ньютон у листі до Річарда Бентлі^[7]. Аналіз показав, що подібний «зоряний острів» згодом, під дією взаємовпливу зір, або з'єднається в одне тіло, або розсіється в нескінченній порожнечі^[8]. Альберт Ейнштейн, розглядаючи принцип рівномірного розподілу речовини в нескінченному Всесвіті, писав^[9]:

Це уявлення несумісне з теорією Ньютона. Ба більше, остання вимагає, щоб світ мав щось на зразок центру, де густина зір була б максимальною, і щоб ця густина зменшувалась з відстанню від центру так, що на нескінченності світ був би зовсім порожнім. Світ мав являти собою скінченний зоряний острів у нескінченному океані простору.

Це уявлення не дуже задовільне саме по собі. Воно незадовільне ще й тому, що призводить до того, що випромінене зорями світло, а також окремі зорі мають безперервно віддалятися в нескінченність, ніколи не повертаючись і не вступаючи у взаємодію з іншими об'єктами природи. Такий світ, матерія якого сконцентрована в скінченному просторі, мав би повільно, але систематично спустошуватися.

Ієрархічний Всесвіт

Ієрархічна структура (фрактальна космологія^[en] або «острівний Всесвіт»^[10]), яку запропонував Йоганн Ламберт, була більш витонченою спробою вирішити проблему. 1761 року Ламберт опублікував «Космологічні листи про будову Всесвіту», де припустив, що Всесвіт улаштований ієрархічно: кожна зоря з планетами утворює систему першого рівня, далі ці зорі об'єднуються в систему другого рівня і т.д. 1908 року шведський астроном Карл Шарльє показав, що в ієрархічній моделі Ламберта щоб усунути гравітаційний парадокс досить припустити для кожних двох сусідніх рівнів ієрархії таке співвідношення між розмірами ${\displaystyle R_{k}}$ систем і середньою кількістю ${\displaystyle N_{k}}$ систем нижнього рівня в системі наступного рівня^[11]:

${\displaystyle {\frac {R_{k}}{R_{k-1}}}>{\sqrt {N_{k}}},}$

тобто, розміри систем мали зростати досить швидко. У 30—40-х роках XX-го сторіччя гіпотеза була популярною^[10], однак у XXI столітті ідеї Шарльє майже не мають послідовників, оскільки модель Ламберта (і фрактальна космологія взагалі) суперечить низці сучасних спостережних даних, особливо різним непрямим свідченням малості коливань гравітаційного потенціалу у видимому всесвіті^[12].

Модифікація закону всесвітнього тяжіння

Третя група гіпотез містила різні модифікації закону всесвітнього тяжіння. Німецький фізик Август Фьоппль(інші мови) припустив (1897), що у Всесвіті існує речовина з негативною масою, яка компенсує надлишок тяжіння^[13]. Гіпотезу про існування речовини з негативною масою ще 1885 року висунув англійський математик і статистик Карл Пірсон. Він вважав, що «мінус-речовина», відштовхуючись від звичайної, перемістилась у віддалені райони Всесвіту, але деякі відомі зорі з великим власним рухом, можливо, складаються з такої речовини^[14]. Вільям Томсон (1884 рік) аналогічну роль речовини, що гасить, відводив ефіру, який, на його думку, притягує тільки сам себе, створюючи додатковий тиск^[15].

Деякі вчені намагалися виходити з нез'ясованого в межах ньютонівської теорії аномального зсуву перигелію Меркурія. Найпростішим варіантом була «гіпотеза Холла», згідно з якою квадрат відстані у формулі закону всесвітнього тяжіння слід замінити на трохи більшу ступінь. Таке коригування досягало відразу двох цілей — гравітаційний парадокс зникав (інтеграли ставали кінцевими), а зсув перигелію Меркурія можна було пояснити, якщо підібрати відповідний показник ступеня для відстані. Однак, як незабаром з'ясувалося, із новим законом не узгоджується рух Місяця^[16].

Зеелігер і Нейман запропонували ще одну модифікацію закону всесвітнього тяжіння:

${\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over R^{2}}e^{-\lambda R}}$

У ній додатковий множник ${\displaystyle e^{-\lambda R}}$ забезпечує швидше, ніж у Ньютона, зменшення тяжіння зі збільшенням відстані. Підбір коефіцієнта згасання ${\displaystyle \lambda }$ дозволяв також пояснити зсув перигелію Меркурія, однак тоді рух Венери, Землі й Марса переставав відповідати спостереженнями^[17].

Були й інші спроби поліпшити теорію гравітації, але до робіт Альберта Ейнштейна всі вони були безуспішними — нові теорії або не пояснювали повною мірою зсув перигелію Меркурія, або давали хибні результати для інших планет^[16].

Неевклідова геометрія простору

Від 1870-х років почали з'являтися перші гіпотези про те, що для вирішення парадоксу слід припустити у Всесвіті неевклідову геометрію (Шерінг, Кіллінг, пізніше Шварцшильд і Пуанкаре)^[18]. Німецький астроном Пауль Гарцер^[de] схилявся до думки, що кривина простору позитивна, оскільки тоді об'єм Всесвіту скінченний, і разом із гравітаційним зникає також фотометричний парадокс^[19]. Проте пояснити зсув перигелію Меркурія за допомогою цієї гіпотези не вдалося — розрахунки показали, що кривина простору виходить неправдоподібно великою^[18].

Сучасне трактування

Ньютонівська теорія тяжіння, як з'ясувалося на початку XX століття, непридатна для розрахунку сильних полів тяжіння. У сучасній фізиці її замінили на загальну теорію відносності Ейнштейна (ЗТВ). Нова теорія тяжіння призвела до створення науки космології, що містить низку різноманітних моделей світобудови^[20]. У цих моделях гравітаційний парадокс не виникає, оскільки сила тяжіння в ЗТВ є локальним наслідком неевклідової метрики простору-часу, і тому сила завжди однозначно визначена й скінченна^[21][22].

Першу статтю з релятивістської космології опублікував сам Ейнштейн у 1917 році, вона називалася «Питання космології й загальна теорія відносності» (нім. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie). У цій статті Ейнштейн послався на гравітаційний парадокс як доказ непридатності ньютонівської теорії в космології, і підсумував: «Ці труднощі, мабуть, не можна подолати, залишаючись в рамках теорії Ньютона»^[23].

Оскільки залишаються деякі неточності в розрахунках орбіт космічних тіл, доречні подальші пошуки. Для експерименту Стевіна-Галілея, відомого можливим скиданням мушкетної кулі і ядра з Пізанської вежі, і взагалі для всіх земних експериментів з переконливою точністю достатній закон Ньютона, в якому маса тіла m просто ігнорується як зникаюче мала в порівнянні з масою Землі М_З. Але не можна ігнорувати співставні за масою космічні тіла. Почасти це зрозуміло з відомої "задачі двох тіл", не спірна її фрактальність для взаємодії Землі з одним тілом. Закон Ньютона для Землі з урахуванням цього можна записати так:

${\displaystyle F={Gm(M_{\text{З}}+m) \over (R_{\text{З}}+h)^{2}}}$, де m маса тіла, що падає з висоти h. Прискорення падіння

${\displaystyle g={F \over m}={G(M_{\text{З}}+m) \over (R_{\text{З}}+h)^{2}}}$.

У загальному вигляді, в порівнянні з ${\displaystyle F={GmM \over R^{2}}}$, у формулі ${\displaystyle F={Gm(M+m) \over R^{2}}}$ сила тяжіння F більша, і, з нарощуванням маси m тіла, що падає, вона швидше зростає, але у прискоренні вільного падіння ${\displaystyle g={F \over m}={G(M+m) \over R^{2}}}$ враховані гравітації і/або інерції обох тіл, що взаємно притягуються. Пошук більш швидкого зменшення гравітації з відстанню, якщо воно потрібне чи вірне*, буде вестися з меншим числом неточних факторів.

Натурні випробування ускладнені граничними параметрами і точністю - необхідне максимально точне (не нижче шуканої точності результату) врахування, з виокремленням шуканої пари, відразу всього комплексу взаємодій об'єктів Сонячної системи і не тільки їх. Сучасні комп'ютери забезпечують такі розрахунки, але це не виключає швидшого спрощеного знаходження першорядних об'єктів використанням вагових коефіцієнтів параметрів і взаємодії.

* Оскільки вихідні дані переважно гіпотетичні, слід врахувати і можливість менших відстаней між об'єктами в Просторі, наприклад, з меншим z червоного зсуву Доплера, то і з нижчим згасанням тяжіння. Певним чином це вплине на дослідження гравітаційного парадоксу. 

Див. Також

• Космологічні парадокси
• Фотометричний парадокс