Гіперболічні кватерніони

Гіперболічні кватерніони — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду ${\displaystyle \ a+bi+cj+dk,}$ де

${\displaystyle \ a,b,c,d}$ — дійсні числа,

${\displaystyle \ i,j,k}$ — уявні одиниці.

таблиця множення

	i	j	k
i	1	k	−j
j	-k	1	i
k	j	-i	1

де ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=+1}$ та елементи {i, j, k} перемножаються антикомутативно:

${\displaystyle ij=k=-ji}$

${\displaystyle jk=i=-kj}$

${\displaystyle ki=j=-ik}$

Ця алгебра має деякі спільні властивості з більшою і старішою алгеброю бікватерніонів. Вони обидві містять підалгебру подвійних чисел.

Александер Макфайлейн почав використовувати це поняття в 1890-их в своїй «Algebra of Physics», спочатку в American Association for the Advancement of Science в 1891, потім в 1894 в своїй книзі «Papers in Space Analysis».

Властивості

• Це алгебра не є асоціативною, і навіть альтернативною, наприклад:

${\displaystyle (ij)j=kj=-i}$, але ${\displaystyle i(jj)=i}$.

• Оскільки квадрати уявних одиниць є дійсними числами і є властивість їх антикомутативності, то ця алгебра є степенево-асоціативною.

Див. також

• Степенева асоціативність

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)