Гіпоеліптичний оператор

Гіпоеліптичний оператор — диференціальний оператор у частинних похідних, фундаментальний розв'язок якого належить класу ${\displaystyle C^{\infty }}$ у всіх точках простору, крім початку координат.

Визначення

Нехай ${\displaystyle P(\xi )}$ — дійсний поліном від змінних ${\displaystyle \xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):}$

${\displaystyle P(\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}},}$

де ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n}}$ і ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$.

Узагальнена функція ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x)}$ називається фундаментальним розв'язком диференціального оператора ${\displaystyle P(D)}$, якщо вона є розв'язком рівняння ${\displaystyle P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),}$ де ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функція Дірака. Оператор ${\displaystyle P(D)}$ називають гіпоеліптичним, якщо ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x)}$ належить класу ${\displaystyle C^{\infty }}$ за всіх ${\displaystyle x\neq 0}$^[1][2].

${\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},}$

Визначимо відповідний диференціальний оператор:

${\displaystyle D=(D_{1},\ldots ,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots ,n.}$

де

Властивості

Як визначення гіпоеліптичного оператора часто використовують такий критерій гіпоеліптичності^[1]:

Теорема 1. Оператор ${\displaystyle P(D)}$ є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли для будь-якої відкритої ділянки ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ будь-який розв'язок ${\displaystyle u(x)}$ (узагальнена функція) рівняння ${\displaystyle P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,}$ з будь-якою правою частиною ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ також належить класу ${\displaystyle u\in C^{\infty }(U).}$

Також Германдер встановив такий алгебричний критерій гіпоеліптичності^[1]:

Теорема 2. Оператор ${\displaystyle P(D)}$ є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle {\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,}$ для всіх ${\displaystyle k=(k_{1},\ldots ,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,}$ де ${\displaystyle i}$ — уявна одиниця.

Приклади

• Будь-який еліптичний оператор є гіпоеліптичним, наприклад, оператор Лапласа^[2].
• Оператор теплопровідності є гіпоеліптичним, але не еліптичним^[2].
• Оператор д'Аламбера не є гіпоеліптичним^[2].