Гіпотези Вейля

Гіпотези Вейля - математичні гіпотези про локальні дзета-функції проєктивних многовидів над скінченними полями.

Гіпотези Вейля стверджують, що локальні дзета-функції мають бути раціональними, задовольняти функціональному рівнянню, а їх нулі лежати на критичних прямих. Останні 2 гіпотези аналогічні гіпотезі Рімана для дзета-функції Рімана.

Гіпотези в загальному вигляді сформулював Андре Вейль 1949 року, раціональність довів Бернард Дворк^[en] 1960 року, функціональне рівняння — Олександр Гротендік 1965 року, аналог гіпотези Рімана — П'єр Делінь 1974 року^[1].

Формулювання гіпотез Вейля

Нехай ${\displaystyle X}$ — неособливий ${\displaystyle n}$-вимірний проєктивний алгебричний многовид над скінченним полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Його конгруенц-дзета-функція визначається як

${\displaystyle Z(X,\;T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right),}$

де ${\displaystyle N_{k}}$ — число точок ${\displaystyle X}$ над ${\displaystyle k}$-вимірним розширенням ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}}$ поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Локальна дзета-функція ${\displaystyle \zeta (X,\;s)=Z(X,\;q^{-s})}$.

Гіпотези Вейля стверджують таке:

1. (Раціональність) ${\displaystyle Z(X,\;T)}$ є раціональною функцією ${\displaystyle T}$. Точніше, ${\displaystyle Z(X,\;T)}$ можна подати у вигляді скінченного добутку

${\displaystyle Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2n}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n}(T)}},}$

де кожен ${\displaystyle P_{i}(T)}$ — многочлен з цілими коефіцієнтами. Причому ${\displaystyle P_{0}(T)=1-T,\;P_{2n}(T)=1-q^{n}T}$, а для всіх ${\displaystyle i\colon 1\leqslant i\leqslant 2n-1}$ ${\displaystyle P_{i}(T)=\prod \limits _{j}(1-\alpha _{ij}T)}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, а ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ — деякі цілі алгебричні числа.

2. (Функціональне рівняння і двоїстість Пуанкаре) Дзета-функція задовольняє співвідношенню

${\displaystyle \zeta (X,\;n-s)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,\;s)}$

або, еквівалентно,

${\displaystyle Z\left(X,\;{\frac {1}{q^{n}T}}\right)=\pm q^{nE/2}T^{E}Z(X,\;T),}$

де ${\displaystyle E}$ — ейлерова характеристика ${\displaystyle X}$ (індекс самоперетину діагоналі ${\displaystyle \Delta (X)}$ в ${\displaystyle X\times X}$).

3. (Гіпотеза Рімана) для всіх ${\displaystyle i,\;j}$ ${\displaystyle |\alpha _{i}|=q^{i/2}}$. Звідси випливає, що всі нулі ${\displaystyle P_{k}(q^{-s})}$ лежать на «критичній прямій» ${\displaystyle \operatorname {Re} s=k/2}$.

4. (Числа Бетті) Якщо ${\displaystyle X}$ є хорошою редукцією за модулем ${\displaystyle p}$ неособливого проєктивного многовиду ${\displaystyle Y}$, визначеного над деяким числовим полем, вкладеним у поле комплексних чисел, то степінь ${\displaystyle \deg P_{i}=\beta _{i}(Y)}$, де ${\displaystyle \beta _{i}}$ — число Бетті простору комплексних точок ${\displaystyle Y}$.