Диференціал (математика)

Диференціал в математиці — головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина приросту функції або відображення. В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x — змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Приріст та лінійна частина приросту функції однієї змінної

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов'язаний з dx формулою:

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x,}$

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δx прямує до нуля.

1. Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної в диференціальній геометрії.^[1]
2. Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.^[2]

Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.

Історія і використання

Нескінченно малі величини грали значну роль в розвитку математичного аналізу. Архімед використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескінченно малими величинами можуть бути точні.^[3] Бхаскара II розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін.^[4] Шараф аль-Дін аль-Тусі використовував їх для обчислення похідної кубічного рівняння.^[5][6] Ісаак Ньютон називав їх похідними. Проте Лейбніц був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, яке використовується дотепер.

В позначенні Лейбніца, якщо x — змінне число тоді dx позначає нескінченно малий приріст змінної x. Таким чином, якщо y функція від x, тоді похідна y по змінній x часто позначається ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$, що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) ${\displaystyle {\dot {y}}(x)}$ чи ${\displaystyle y'(x)}$. Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції y(x) дорівнює нахилу функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити границю відношення ${\displaystyle {\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}}$ приросту y в залежності від приросту x, якщо приріст x прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад dx маю таку саму розмірність як і змінна x.

Сума Рімана є певного виду наближенням інтегралу за допомогою скінченної суми. Вона названа на честь німецького математика із дев'ятнадцятого століття Бернгарда Рімана. Його одним із самих загальних застосувань є апроксимація площі, що обмежують графіки функцій або криві, а також довжини кривих і інші наближення.

Диференціал використовують в позначенні інтеграла, тому що інтеграл можна вважати нескінченною сумою нескінченно малих величин: площа під графіком функції обчислюється як сума площ нескінченно тонких стрічок. У виразі

${\displaystyle \int f(x)\,{\mathrm {d} }x,}$

знак інтеграла (витягнуте s) означає нескінченну суму, f(x) позначає 'висоту' тонкої стрічки, а диференціал dx позначає нескінченно тонку ширину.

Формальні означення

Об'єм куба - функція від довжини його сторони, ${\displaystyle V=x^{3}.}$ За рахунок лінійного термічного розширення сторони куба збільшуються, а тому збільшується і його об'єм. Якщо довжина сторони куба мала значення ${\displaystyle x}$ і збільшилася на ${\displaystyle h,}$ то вона прийме значення ${\displaystyle x+h}$ і об'єм куба стане рівним ${\displaystyle (x+h)^{3}.}$ Величина, на яку збільшиться його об'єм, буде складати ${\displaystyle (x+h)^{3}-x^{3}.}$ Цю різницю називають прирощенням об'єму куба, а число ${\displaystyle h}$, яке показує, на скільки збільшилася довжина сторони куба, називається прирощенням його довжини. У математиці прирощення якої-небудь величини позначається ${\displaystyle \Delta x,}$ де ${\displaystyle \Delta }$ - велика грецька літера "дельта", яка нагадує про латинське слово differentia - "різниця".

Якщо функція ${\displaystyle y=f(x)}$ зростає на відрізку ${\displaystyle [a;\,b],}$ то на цьому відрізку знаки ${\displaystyle \Delta y}$ та ${\displaystyle \Delta x}$ співпадають - при збільшенні ${\displaystyle x}$ збільшується й ${\displaystyle y,}$ а при зменшенні ${\displaystyle x}$ зменшується й ${\displaystyle y}$ (графік ліворуч на малюнку). Якщо ж функція ${\displaystyle y=f(x)}$ спадає на цьому відрізку, то у будь-якій його точці знаки ${\displaystyle \Delta x}$ та ${\displaystyle \Delta y}$ протилежні.

Якщо ${\displaystyle y=f(x)}$ - деяка функція й ${\displaystyle x}$ прирощується, ${\displaystyle \Delta x,}$ то змінюється й значення функції, в результаті чого вона отримує деяке прирощення ${\displaystyle \Delta y.}$ Щоб обчислити це прирощення, необхідно:

• знайти значення функції при початковому значенні аргумента, тобто ${\displaystyle y=f(x)}$;
• знайти нове значення аргумента, тобто ${\displaystyle x+\Delta x}$;
• знайти нове значення функції, тобто ${\displaystyle f(x+\Delta x)}$;
• з нового значення функції відняти початкове її значення,тобто ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).}$

Наприклад, прирощення функції ${\displaystyle y=x^{3}}$ має вигляд ${\displaystyle \Delta y=3x^{2}\Delta x+3x\Delta x^{2}+\Delta x^{3};}$ це прирощення можна записати наступним чином: ${\displaystyle \Delta y=3x^{2}\Delta x+(3x\Delta x+\Delta x^{2})\Delta x.}$ Воно складається з двох доданків ${\displaystyle 3x^{2}\Delta x}$ та ${\displaystyle [3x\Delta x+(\Delta x)^{2}]\Delta x.}$ Перший доданок пропорційний прирощенню аргументу ${\displaystyle \Delta x.}$ Другий доданок складніший, залежить від ${\displaystyle \Delta x.}$ Але за малих ${\displaystyle \Delta x}$ він набагато менший, ніж ${\displaystyle 3x^{2}\Delta x,}$ тому що є добутком ${\displaystyle \Delta x}$ на вираз ${\displaystyle 3x\Delta x+(\Delta x)^{2},}$ який прямує до нуля за ${\displaystyle \Delta x\to 0.}$

${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \Delta x}$	${\displaystyle \Delta y}$	${\displaystyle 3x^{2}\Delta x}$	${\displaystyle [3x\Delta x+(\Delta x)^{2}]\Delta x}$
0,1	0,331	0,3	0,031
0,01	0,030301	0,03	0,000301
0,001	0,003003001	0,003	0,000003001

Таким чином, доданок ${\displaystyle 3x^{2}\Delta x}$, який є пропорційним ${\displaystyle \Delta x}$, за малих значень ${\displaystyle \Delta x}$ є головною частиною прирощення функції. Такий доданок називається диференціалом й позначається ${\displaystyle dy=3x^{2}\Delta x.}$ Він залежить не лише від ${\displaystyle \Delta x}$, але й від ${\displaystyle x.}$ Наприклад, для функції ${\displaystyle y=x^{3}}$ при ${\displaystyle x=1}$ та ${\displaystyle \Delta x=0,1}$ він дорівнює ${\displaystyle dy=1,2.}$ У випадку ${\displaystyle \Delta x=0,01}$ та ${\displaystyle x=1}$ диференціал ${\displaystyle dy=0,03.}$

Диференціал функції ${\displaystyle S=x^{2}.}$

Прирощення функції ${\displaystyle y=x^{2}}$ має вигляд ${\displaystyle \Delta y=(x+\Delta x)^{2}-x^{2}=2x\Delta x+(\Delta x)^{2}.}$ Доданком, пропорційним ${\displaystyle \Delta x,}$ є ${\displaystyle 2x\Delta x.}$ Цей доданок і є диференціалом заданої функції: ${\displaystyle dy=2x\Delta x=2x\,dx.}$ Формула для диференціалу ${\displaystyle y=x^{2}}$ має простий геометричний сенс. Оскільки ${\displaystyle S=x^{2}}$ - площина квадрата, сторона якого має довжину ${\displaystyle x,}$ то ${\displaystyle \Delta S}$ - площина фігури, на яку її площа збільшується. Зрозуміло, що за малих ${\displaystyle \Delta x}$ головну частину цієї площини складає площина двох прямокутників, яка дорівнює ${\displaystyle 2x\Delta x,}$ тобто диференціалу функції ${\displaystyle S=x^{2}.}$ Вираз ${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ - площина квадратика, яка нескінченно мала у порівнянні із ${\displaystyle \Delta x.}$

Випадок однієї змінної

Нехай в околі точки ${\displaystyle x_{0}}$ задана функція ${\displaystyle f(x):X\rightarrow Y}$.

нехай існує таке ${\displaystyle A}$, що ${\displaystyle f(x)-f(x_{0})=A(x-x_{0})+o(x-x_{0})}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$.

Позначимо ${\displaystyle x-x_{0}=dx}$.

Тоді функція ${\displaystyle df=Adx}$ називається диференціалом функції ${\displaystyle f(x)}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$.

Випадок багатьох змінних

Приклад 1. Нехай в околі точки ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{0}}}=\{x_{0}^{1},x_{0}^{2},...,x_{0}^{n}\}}$ задана функція багатьох змінних ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):X\rightarrow Y}$.

Нехай існує такий вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}=\{A^{1},A^{2},...,A^{n}\}}$, що ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}})-f({\overrightarrow {x_{0}}})={\overrightarrow {A}}({\overrightarrow {x}}-{\overrightarrow {x_{0}}})+o({\overrightarrow {x}}-{\overrightarrow {x_{0}}})}$ при ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}\rightarrow {\overrightarrow {x_{0}}}}$, де добуток векторів є скалярним добутком.

Позначимо ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}-{\overrightarrow {x_{0}}}={\overrightarrow {dx}}=\{{dx}^{1},{dx}^{2},...,{dx}^{n}\}}$.

Тоді функція ${\displaystyle df={\overrightarrow {A}}{\overrightarrow {dx}}}$ називатиметься диференціалом функції ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}})}$ в точці ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{0}}}}$.

Приклад 2. Тепер нехай ${\displaystyle \Delta f=f(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2},...,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ приріст функції ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$ Неперервність частинних похідних ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ є умовою, достатньою для існування диференціалу. У цьому випадку

${\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}+R_{1},}$

де ${\displaystyle R}$ нескінченно мале у порівнянні із ${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\Delta x_{2}^{2}+...+\Delta x_{n}^{2}}}.}$ Вираз ${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}}$ є диференціалом функції багатьох змінних.

Відображення між евклідовими просторами

Диференціал відображення - головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина відображеня, яка задається деякою матрицею. Також поняття диференціала можна ввести для відображення між евклідовими просторами ƒ Rⁿ → R^m. Нехай x,Δx ∈ Rⁿ — два вектори в просторі Rⁿ. Зміна значення функції ƒ при зміні аргументу на Δx рівна:

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$

Якщо існує m × n матриця A для якої

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

де вектор ε → 0 при Δx → 0, тоді ƒ називається диференційовною в точці x. Матриця A називається матрицею Якобі, а лінійне перетворення, що ставить у відповідності вектору Δx ∈ Rⁿ вектор AΔx ∈ R^m називається диференціалом dƒ(x) відображення ƒ в точці x.

Відображення між многовидами

Диференціал в точці ${\displaystyle x\in M}$ гладкого відображення із гладкого многовиду в многовид ${\displaystyle F\colon M\to N}$ визначається як лінійне відображення між дотичними просторами в точках ${\displaystyle x\in M}$ і ${\displaystyle F(x)\in N,}$ тобто ${\displaystyle dF\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N,}$ таке що для довільної гладкої в точці F(x) функції ${\displaystyle g\colon N\to \mathbb {R} }$ виконується рівність:

${\displaystyle dF(X)g=X(g\circ F),\quad \forall X\in T_{x}M.}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 550+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Диференціал функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 266. — 594 с.
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)