Досконалий простір

G _δ-простір — це топологічний простір, у якому закриті множини певним чином «відокремлені» від своїх доповнень за допомогою лише лічильної кількості відкритих множин. Таким чином, G _δ-простір можна розглядати як простір, що задовольняє інший вид аксіом відокремлюваності. Насправді нормальні G _δ-простори називають досконалими нормальними просторами і задовольняють найсильнішу з аксіом поділу .

G _δ-простори також називають досконалими просторами.^[1] Термін досконалий також використовується, в іншому значенні, для позначення простору без ізольованих точок; див. Досконала множина .

Визначення

Зліченний перетин відкритих множин топологічного простору є топологічним простором, що називається G_δ-множиною. Вочевидь, кожна відкрита множина є G_δ-множиною. Аналогічно, зліченне об'єднання замкнених множин називається F_σ-множиною. Вочевидь, кожна замкнена множина є F_σ-множиною.

Топологічний простір X називається G_δ-простором, якщо кожна замкнена підмножина X є G_δ-множиною. Аналогічно та еквівалентно, G_δ-простір це простір, в якому кожна відкрита множина є F_σ-множиною.

Властивості та приклади

• Кожен підпростір G_δ-простору є G_δ-простором.
• Кожен метризовний простір є G_δ-простором. Це також справедливо для псевдометризовних просторів.
• Кожен регулярний простір, що задовольняє другий аксіомі зліченності є G_δ-простором. Це наслідок теореми Урисона про метризацію у випадку Гаусдорфового простору, але це також можна просто показати безпосередньо.^[2]
• Кожен зліченний регулярний простір є G_δ-простором.
• Кожен регулярний спадково Ліндельофів простір є G_δ-простором. Такі простори насправді є досконало нормальними. Це узагальнюється на попередні пункти про другі зліченні та зліченні регулярні простори.