Ліндельофів простір

У математиці ліндельофів простір (простір Ліндельофа) ^[1][2] — топологічний простір, в якому кожне відкрите покриття має злічене підпокриття. Властивість Ліндельофа є послабленням частіше використовуваного поняття компактності, яке вимагає існування скінченного підпокриття.

Успадкований простір Ліндельофа^[3] — топологічний простір, який є підпростором Ліндельофа. Такий простір іноді називають сильно ліндельофовим, але збиває з толку те, що такий термін іноді використовується в зовсім іншому значенні.^[4] Термін успадкований простір Ліндельофа є більш поширеним і однозначним.

Простори Ліндельофа названі на честь фінського математика Ернста Леонарда Ліндельофа.

Властивості просторів Ліндельофа

• Будь-який компактний простір, і взагалі кожен σ-компактний простір, є простором Ліндельофа. Зокрема, кожен зліченний простір також є простором Ліндельофа.

• Простір Ліндельофа є компактним тоді й лише тоді, коли він є зліченно компактним.

• Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, ^[5] є простором Ліндельофа, проте не навпаки. Наприклад, існує багато компактних просторів, які не задовольняють другу аксіому зліченності.

• Метричний простір є ліндельофовим тоді й лише тоді, коли він сепарабельний, і тоді й лише тоді, коли він задовольняє другу аксіому зліченності.^[6]

• Будь-який регулярний простір Ліндельофа є нормальним.^[7]

• Будь-який регулярний простір Ліндельофа є паракомпактним.^[8]

• Зліченне об'єднання підпросторів Ліндельофа топологічного простору є ліндельофовим простором.

• Будь-який замкнений підпростір простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.^[9] Отже, будь-яка F_σ-множина у просторі Ліндельофа є ліндельофовим простором.

• Довільні підпростори простору Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовими просторами.^[10]

• Неперервний образ простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.^[9]

• Добуток простору Ліндельофа і компактного простору є ліндельофовим простором.^[11]

• Добуток простору Ліндельофа і σ-компактного простору є ліндельофовим простором.

Це є наслідком попередньої властивості.

• Добуток двох просторів Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовим простором.

Наприклад, лінія Зоргенфрея ${\displaystyle S}$ є ліндельофовим простором, але площина Зоргенфрея^[en] ${\displaystyle S\times S}$ не є ліндельофовим простором.^[12]

• У просторі Ліндельофа будь-яке локально скінченне^[en] сімейство непорожніх підмножин є зліченним.

Властивості успадкованого простору Ліндельофа

• Простір Ліндельофа є успадкованим тоді й лише тоді, коли будь-який відкритий підпростір простору є ліндельофовим простором.^[13]

• Успадковані простори Ліндельофа є замкненими відносно зліченних об'єднань, підпросторів і неперервних образів.

• Регулярний простір Ліндельофа є успадкованим ліндельофовим простором тоді й лише тоді, коли він є досконало нормальним.^[14][15]

• Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-який злічений простір є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-який польський простір є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-яка міра Радона на успадкованому просторі Ліндельйофа є модерованою.

Приклад: Площина Зоргенфрея не є простором Ліндельофа

Добуток просторів Ліндельофа не обов'язково є простором Ліндельофа. Типовим прикладом цього є площина Зоргенфрея^[en] ${\displaystyle \mathbb {S} }$, яка є добутком дійсної прямої ${\displaystyle \mathbb {R} }$ з топологією напіввідкритих інтервалів з самою собою. Відкритими множинами на площині Зоргенфрея є об'єднання напіввідкритих прямокутників, які включають нижній і лівий краї і опускають верхній і правий краї, включаючи верхній лівий, нижній лівий і нижній правий кути. Антидіагональ площини ${\displaystyle \mathbb {S} }$ — множина точок ${\displaystyle (x,y)}$ таких, що ${\displaystyle x+y=0}$.

Розглянемо відкрите покриття площини ${\displaystyle \mathbb {S} }$, яке складається з:

1. Множини всіх прямокутників ${\displaystyle (-\infty ,x)\times (-\infty ,y)}$, де ${\displaystyle (x,y)}$ знаходяться на антидіагоналі.
2. Множинн всіх прямокутників ${\displaystyle [x,+\infty )\times [y,+\infty )}$, де ${\displaystyle (x,y)}$ знаходяться на антидіагоналі.

Тут слід зауважити, що кожна точка на антидіагоналі міститься точно в одній множині покриття, тому всі ці множини потрібні.

Інший спосіб переконатися, що ${\displaystyle S}$ не є простором Ліндельофа, полягає в тому, що треба помітити, що антидіагональ визначає замкнутий і незлічений дискретний підпростір простору ${\displaystyle S}$. Цей підпростір не є підпростором Ліндельофа, і тому весь простір не може бути ліндельофовим простором (оскільки замкнені підпростори просторів Ліндельофа також є просторами Ліндельофа).

Узагальнення

Наступне означення узагальнює означення компактності та ліндельофності: Топологічний простір є ${\displaystyle \kappa }$-компактним (або ${\displaystyle \kappa }$-ліндельофовим), де ${\displaystyle \kappa }$ є будь-яким кардинальним числом, якщо кожне відкрите покриття множини має підпокриття кардинальності строго меншої ніж ${\displaystyle \kappa }$. Компактний простір є тоді ${\displaystyle \aleph _{0}}$-компактним і простір Ліндельофа є тоді ${\displaystyle \aleph _{1}}$-компактним.

Степінь Ліндельофа, або число Ліндельофа ${\displaystyle l(X)}$, є найменшим кардинальним числом ${\displaystyle \kappa }$ таким, що кожна відкрите покриття простору ${\displaystyle X}$ має підпокриття розмірності не більше ${\displaystyle \kappa }$. У цьому позначенні, простір ${\displaystyle X}$ є простором Ліндельофа, якщо ${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}}$. Визначене вище число Ліндельофа не розрізняє компактні простору і некомпактні простору Ліндельофа. Деякі автори назвали числом Ліндельофа інше поняття: найменше кардинальне число ${\displaystyle \kappa }$ таке, що кожне відкрите покриття простору ${\displaystyle X}$ має підпокриття розмірності строго меншої ніж ${\displaystyle \kappa }$.^[16] У цьому останньому (і менш уживаному) сенсі число Ліндельофа є найменшим кардинальним числом ${\displaystyle \kappa }$ таким, що топологічний простір ${\displaystyle X}$ є ${\displaystyle \kappa }$-компактним. Це поняття іноді також називають степенем компактності простору ${\displaystyle X}$.^[17]

Див. також

• Аксіоми зліченності
• Лема Ліндельофа^[en]