Нормальний простір

Нормальний простір — топологічний простір, який задовольняє аксіомам віддільності T₁, T₄, тобто такий топологічний простір, в якому одноточкові множини замкнені і будь-які дві диз'юнктні (тобто,такі, що не перетинаються) замкнуті множини мають диз'юнктні околи.

Аксіоми відокремлюваності в топологічних просторах
T0	(Колмогорова)
T1	(Фреше)
T2	(Гаусдорфів)
T2½	(Урисонів)
CT2	(повністю Гаусдорфів)
T3	(регулярний Гаусдорфів)
T3½	(Тихонівський)
T4	(нормальний Гаусдорфів)
T5	(повністю нормальний  Гаусдорфів)
T6	(досконало нормальний  Гаусдорфів)
класифікація Колмогорова

Приклади нормальних просторів

Більшість просторів, що зустрічаються у математичному аналізі нормальні гаусдорфові простори, або принаймні нормальні регулярні простори:

• Усі метричні простори (а, отже, всі метризовні) є абсолютно нормальними гаусдорфовими просторами;
• Усі псевдометричні простори (а, отже, всі псевдометризовні) є абсолютно нормальними регулярними, хоча не обов'язково гаусдорфовими;
• Всі гаусдорфовs компактні простори є нормальними;
• Зокрема, стоун-чехівська компактифікація тихоновського простору є нормальним гаусдорфовим простором;
• Узагальнюючи наведені вище приклади, всі паракомпактні гаусдорфові простори є нормальними, і всі паракомпактні регулярні простори нормальні;
• Усі паракомпактні топологічні многовиди є абсолютно нормальними гаусдорфими просторами. Тим не менш, існують не паракомпактні многовиди, які не є навіть нормальними просторами.
• Усі топології порядку на повністю впорядкованій множині є спадково нормальними і гаусдорфими.
• Кожний регулярний простір, який задовольняє другу аксіому зліченності є абсолютно нормальним, і кожний регулярний ліндельофовий простір є нормальним.

Крім того, всі повністю нормальні простори нормальні (навіть якщо не регулярні). Простір Серпінського є прикладом нормального простору, який не є регулярним.

Властивості

• Нормальні простори є частковим випадком цілком регулярних (інакше, тихоновських) просторів.
• Будь-який замкнений підпростір нормального простору нормальний.
• Простір, усі підпростори якого нормальні, називається спадково нормальним'.
  • Для спадкової нормальності достатньо, щоб усі відкриті підпростори були нормальні.
  • Для спадкової нормальності необхідно і достатньо, щоб були відокремлені околами будь-які дві множини, з яких жодна не містить точок дотику іншого.
• Нормальний простір називається цілком нормальним, якщо у ньому кожна замкнена множина є перетином зліченної кількості відкритих множин.
  • Будь-який цілком нормальний простір є спадково нормальним.
• Добуток двох нормальних просторів не обов'язково нормальний.
• Досконало нормальним простором є топологічний простір ${\displaystyle X}$, в якому кожні дві неперетинні замкнуті множини ${\displaystyle E}$ та ${\displaystyle F}$ можуть бути точно розділені функцією, в тому сенсі, що існує неперервна функція ${\displaystyle f}$ з ${\displaystyle X}$ в інтервал ${\displaystyle [0,1]}$ така що ${\displaystyle f^{-1}(0)=E}$ та ${\displaystyle f^{-1}(1)=F}$.^[1]

Див. також

• Лема Урисона
• Теорема Тітце про продовження