Дробово-лінійне перетворення

Дробово-лінійне перетворення або дробово-лінійне відображення — це відображення комплексного простору на себе, яке здійснюється дробово-лінійними функціями.

Формальне визначення

Дробово-лінійне перетворення — це невироджене відображення комплексного простору на себе

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}:z\to w,}$ ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),}$

${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})=(L_{1}(z),L_{2}(z),\dots ,L_{n}(z)),}$

здійснюване дробово-лінійними функціями

${\displaystyle L_{k}(z)={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\cdots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1k}z_{1}+c_{2k}z_{2}+\cdots +c_{nk}z_{n}+d_{k}}},}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n,}$

де ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ — комплексні змінні, ${\displaystyle a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},}$${\displaystyle c_{1k},c_{2k},\dots ,c_{nk},}$${\displaystyle b_{k},d_{k}}$ — комплексні коефіцієнти,

${\displaystyle |c_{1k}|+|c_{2k}|+\dots +|c_{nk}|+|d_{k}|>0}$^[1].

У разі комплексної площини ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}=\mathbb {C} }$ отримуємо відмінне від константи відображення вигляду

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$

де ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$^[2].