Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Комплексна площина

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Комплексна площина
Remove ads

Комплексна площина  множина впорядкованих пар , де . Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел за принципом . Це дозволяє ввести алгебричні операції на площині . Розглянемо топологічні властивості комплексної площини і не будемо проводити різниці між парою і комплексним числом .

Thumb
Геометричне представлення z і його спряжене число в комплексній площині. Довжина одного блакитного відрізку від початку координат до точки z є модулем або абсолютним значенням z. Кут φ є аргументом z.

Концепція комплексної площини, дозволяє привести комплексні числа у геометричному сенсі. Операцію додавання, здійснювати як додавання векторів. Множення двох комплексних чисел можна у найпростішому вигляді можна виразити в полярних координатах—величина або модуль добутку це добуток двох абсолютних величин, або модулів, а кут або аргумент добутку є сумою двох кутів, або аргументів. Зокрема, множення на комплексне число із модулем, що дорівнює 1 приводить до обертання.

Комплексну площину іноді називають площиною Арганда, а геометричні графіки[en] на цій площині діаграмами Арганда. Вони названі в честь Роберта Аргана (1768—1822), хоча вперше їх описав норвезько-данський землевпорядник і математик Каспар Вессель (1745—1818).[1]

Remove ads

Загальні позначення

Узагальнити
Перспектива

В комплексному аналізі, комплексні числа зазвичай позначаються символом z, в якому виділяють його дійсну (x) і уявну (y) частини:

наприклад: z = 4 + 5i, де x і y є дійсними числами, і i є уявною одиницею. В цьому загальному позначенні комплексне число z відповідає точці (x, y) на декартовій площині.

В декартовій системі координат, точку (x, y) також можна представити в полярних координатах наступним чином

Для декартової площини можна припустити що арктангенс приймає значення лише від π/2 до π/2радіанах), і варто обережно поводитися при використанні функції арктангенса для точок (x, y) при x ≤ 0.[2] В комплексній площині дані полярні координати будуть мати форму

де

[3]

Тут |z| є абсолютним значенням або модулем комплексного числа z; θ, це аргумент числа z, його зазвичай обирають в інтервалі 0 ≤ θ < 2π; а остання рівність (|z|e) взята із формули Ейлера. Слід зауважити, що без обмеження діапазону значень кута θ, аргумент z буде мати множину значень, оскільки комплексна експоненційна функція періодична, і має період 2π i. Тому, якщо θ є одним із значень arg(z), то іншими значення будуть задаватися як arg(z) = θ + 2, де n приймає усі цілі значення ≠ 0.[4]

Remove ads

Топологія комплексної площини

Узагальнити
Перспектива

Відкриті множини

Фундаментальне поняття околу вводиться на комплексній площині таким чином — околом точки називається множина виду . Геометрично на комплексній площині околи мають вигляд кола з центром в певних точках комплексної площини. Інколи для зручності необхідно розглядати і проколоті околи .

Визначимо відкриту множину — згідно з визначенням із загальної топології, відкритою множина буде, якщо вона для будь-якої своєї точки містить деякий її окіл.

Точка згущення і замкнена множина

Точка буде точкою згущення для множини , якщо для довільного околу перетин буде не порожнім. Іншими словами, точка є точкою згущення, якщо в довільній «близькості» до неї завжди можна знайти точки множини. Множина точок згущення називається похідною і позначається G'.

Множина буде називатися замкнутою, якщо для неї справедливим є включення . Очевидно, що для довільної множини множина буде замкненою; вона називається замиканням множини .

Границя

Точка буде називатися граничною для множини , якщо для довільного околу перетин і будуть не порожніми. Множина всіх граничних точок називається граничною множиною або просто границею.

Всюди щільні множини

Множина буде називатися всюди щільною в іншій множині , якщо для довільної точки і будь-якого околу перетин не порожній.

Remove ads

Зв'язність

Відстань між множинами

Як відомо з елементарної математики, на комплексній площині відстань між двома точками дорівнює модулю їх різниці. Тепер визначимо відстань між точкою і деякою множиною як величину .

На базі цього поняття вже можна визначити відстань між двома довільними множинами в : .

Зв'язність

Множина називається Зв'язною, якщо для неї виконано співвідношення . Якщо дана величина не дорівнює нулю, то множина називається незв'язним. Можна показати, що незв'язну множину можна представити у вигляді об'єднання (скінченного або зліченного) , де  — зв'язні множини, що не перетинаються, називаються зв'язними компонентами множини . Потужність множини зв'язних компонент називається порядком зв'язності.

Remove ads

Випуклі, спряжені і лінійно зв'язані множини

Узагальнити
Перспектива

Множина називається спряженою відносно точки , якщо для довільної точки виконується включення .

Множина називається випуклою, якщо вона спряжена відносно будь-якої своєї точки. Множина називається випуклою оболонкою множини , якщо вона випукла, і для будь-якої випуклої множини , що містить множину виконується включення .

Ламаною називається множина точок комплексної площини, що представляється у вигляді об'єднання відрізків. Множина називається лінійно зв'язною, якщо для двох довільних точок існує ламана така, що виконується .

Можна довести, що будь-яка лінійно зв'язана множина буде зв'язною. Звідси наслідком є те, що зв'язні всі випуклі і спряжені множини.

Remove ads

Криві на C {\displaystyle \mathbb {C} }

Криві и шляхи

Кривою або шляхом на комплексній площині називається відображення вигляду . Особливо слід зазначити, що при такому визначенні можна конкретизувати не тільки вигляд кривої, який буде залежати від аналітичних властивостей функції , але й її напрямок. Наприклад, функції і будуть визначати однакову за виглядом криву, але вона буде проходити в протилежних напрямках.

Гомотопія кривих

Криві и називаються гомотопними, якщо існує крива , що залежить від параметра таким чином, що і .

Remove ads

Розширена комплексна площина і нескінченно віддалена точка

Узагальнити
Перспектива

У комплексному аналізі часто корисно розглядати розширену комплексну площину[5], доповнену, порівняно зі звичайною, нескінченно віддаленою точкою :

геометрично точка зображується точкою сфери Рімана (її «північний полюс»).

За такого підходу необмежено ростуча (за модулем) послідовність вважається такою, що збігається до нескінченно віддаленої точки. Алгебричні операції з нескінченністю не виконуються, хоча кілька алгебричних співвідношень мають місце[5]:

-околом нескінченно віддаленої точки вважається множина точок , модуль яких більший, ніж , тобто зовнішня частина -околів початку координат.

Розширена комплексна площина називається також сферою Рімана, оскільки вона ізоморфна звичайній сфері (ізоморфізм можна встановити, наприклад, за допомогою стереографічної проєкції). Комплекснозначні функції в деяких випадках можна продовжити на сферу Рімана. Оскільки прямі на площині (за стереографічної проєкції) переходять у кола на сфері, що містять нескінченно віддалену точку, комплексні функції зручніше розглядати на сфері.[уточнити]

Remove ads

Див. також

Примітки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads