Діофантові рівняння

Діофантові рівняння — невизначені поліноміальні рівняння з цілими коефіцієнтами, в яких невідомі змінні можуть набувати тільки цілих значень. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта Александрійського.

Знаходження всіх прямокутних трикутників з цілими довжинами сторін рівнозначне розв'язанню діофантового рівняння a² + b² = c².

Діофантовим рівнянням 1-го ступеня (лінійним) з ${\displaystyle n}$ невідомими називається рівняння вигляду ${\displaystyle (a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}=b)}$, де всі коефіцієнти і невідомі — цілі числа і хоча б одне ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

Розв'язком діофантового рівняння буде n цілих чисел ${\displaystyle (x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots ,x_{n}^{\prime })}$, що задовольняє ${\displaystyle a_{1}x_{1}^{\prime }+a_{2}x_{2}^{\prime }+\ldots +a_{n}x_{n}^{\prime }=b)}$

Теорема Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими ${\displaystyle ax+by=c}$ можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли число ${\displaystyle c}$ ділиться націло на НСД(а, b)

Історія

• Рівняння вигляду P(x, y,…,z)=0, де P(x, y,…,z)=0 многочлен декількох змінних із цілими коефіцієнтами, для яких потрібно знайти цілі розв'язки, називають діофантовими рівняннями. Названі вони ім'ям грецького математика Діофанта, який жив у ІІІ столітті н. е. Його книга «Арифметика» містила 189 задач із цілими числами, для кожної з яких наводилося один або декілька розв'язків.

Розв'язати діофантове рівняння означає:

• a) з'ясувати, чи має рівняння хоча б один ненульовий розв'язок у цілих числах;
• b) якщо рівняння має розв'язок в цілих числах, то з'ясувати скінченна чи нескінченна множина його розв'язків;
• c) знайти всі цілі розв'язки рівняння.

Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв'язувати ще до Діофанта. Стародавні греки знали, що якщо це рівняння має розв'язок ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, то йому буде задовольняти нескінченна множина пар (x, y) виду ${\displaystyle x=x_{0}+bk\,\,\,y=y_{0}-bk}$, де k — будь-яке ціле число.

Математики Стародавньої Греції та Стародавньої Індії знали методи розв'язання деяких рівнянь другого степеня вигляду ax²+bxy+cy²=dz². Зокрема їм були відомі всі піфагорові трійки натуральних чисел x, y, z, що задовольняють рівнянню x²+y²=z² . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел стародавні математики знаходили за формулами x=m²-n², y=2mn, z=m²+n² , m, n — натуральні числа, m>n.
У 20-х роках ХХ сторіччя англійський математик Морделл висунув гіпотезу, що рівняння вищого степеня, ніж третій, можуть мати лише скінчену кількість цілих розв'язків. Цю гіпотезу було доведено голландським математиком Фалтінгсом 1983 року^{[джерело?]}.

Особливе місце серед діофантових рівнянь посідає рівняння ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$, де n — натуральне число. Французький математик П'єр Ферма стверджував, що для n>2 це рівняння не має розв'язків у натуральних числах. Однак довести це твердження, яке назвали Великою теоремою Ферма, виявилося не так просто.

Діофантові рівняння першого степеня

Рівняння виду ${\displaystyle ax+by=c,}$ де a, b, c — числа, а x, y — змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв'язання рівняння застосовують наступні теореми.

• Теорема 1. Якщо a i b — взаємно прості числа, то для будь-якого цілого c, рівняння має хоча б один розв'язок у цілих числах.
• Теорема 2. Якщо a i b мають спільний натуральний дільник d<>1 , а ціле число c не ділиться на d, то рівняння ${\displaystyle ax+by=c}$ не має розв'язків в цілих числах.
• Теорема 3. Якщо a i b — взаємно прості числа, то рівняння ${\displaystyle ax+by=c}$ має нескінченну кількість розв'язків, які знаходять за формулами ${\displaystyle x=x_{0}+bk,\,\,\,y=y_{0}-ak}$, де ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ — будь-який цілий розв'язок цього рівняння, k є Z.

Частковий розв'язок ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ для малих a i b можна знайти підбором, а у випадку, коли числа a i b великі, скористувавшись наступною теоремою:

• Теорема 4. НСД(a, b)=d може бути записаний у вигляді ${\displaystyle d=am+bn,}$ де m, n — цілі числа.

Приклади

• Лінійне рівняння:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}=a}$

Це рівняння має розв'язок тоді й лише тоді, коли найбільший спільний дільник ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ ділить a.

• Рівняння Безу

${\displaystyle ax+by=d}$

Має розв'язок, коли d = НСД(a, b).

• ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$:
  • При ${\displaystyle n=2}$ розв'язками рівняння будуть піфагорові трійки
  • Велика теорема Ферма стверджує, що рівняння не має розв'язків для ${\displaystyle n>2}$.
• ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$, де n не є точним квадратом — рівняння Пелля
• ${\displaystyle x^{z}-y^{t}=1}$, де ${\displaystyle z,t>1}$, — рівняння Каталана
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{n-i}=c}$ для ${\displaystyle n\geq 3}$ і ${\displaystyle c\neq 0}$ — рівняння Туе

Нерозв'язність у загальному вигляді

Десята проблема Гільберта, сформульована 1900 року, полягає в пошуку алгоритму для розв'зання довільних алгебраїчних діофантових рівнянь. 1970 року Юрій Матіясевіч довів алгоритмічну нерозв'язність цієї проблеми^[1].

Див. також

• Теорія трансцендентних чисел
• Рівняння Якобі — Маддена