Еквівалентність рядків

У лінійній алгебрі дві матриці є еквівалентними за рядками, якщо одна з них може бути замінена на іншу послідовністю елементарних операцій над рядками. Навпаки, дві ${\displaystyle m}$×${\displaystyle n}$ матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків. Концепція найчастіше застосовується щодо матриць, які представляють системи лінійних рівнянь, і в цьому випадку дві матриці однакового розміру є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли відповідні однорідні системи мають однаковий набір розв'язків, або еквівалентно матриці мають однаковий нульовий простір.

Оскільки елементарні операції над рядками є оборотними, еквівалентність рядків є відношенням еквівалентності. Його зазвичай позначають тильдою (~).^[1]

Існує аналогічне поняття еквівалентності стовпців, яке визначається елементарними операціями над стовпцями; дві матриці є еквівалентними за стовпцями тоді й лише тоді, коли відповідні транспоновані матриці є еквівалентними за рядками. Дві прямокутні матриці, які можуть бути перетворені одну на іншу, дозволяючи як елементарні операції над рядками, так і над стовпцями, називаються просто еквівалентними.

Елементарні операції з рядками

Елементарне перетворення рядка — це будь-яка із наступних дій:

1. Зміна місцями: поміняти місцями два рядки матриці.
2. Масштаб: помножити рядок матриці на ненульову константу.
3. Порядкове додавання: додати домножений на число один рядок матриці до іншого рядка.

Дві матриці ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ є еквівалентами за рядками, якщо можна перетворити матрицю ${\displaystyle A}$ на матрицю ${\displaystyle B}$ за допомогою послідовності елементарних операцій над рядками.

Простір рядків

Докладніше: Простір стовпців (рядків) матриці

Простір рядків матриці — це множина всіх можливих лінійних комбінацій її вектор-рядків. Якщо рядки матриці являють собою систему лінійних рівнянь, тоді простір рядків складається з усіх лінійних рівнянь, які можна алгебраїчно вивести з рівнянь системи. Дві ${\displaystyle m}$×${\displaystyle n}$ матриці є еквівалентними рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків.

Наприклад, матриці

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{та}}\quad {\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}}$

є еквівалентними за рядками, простір рядків — це всі вектори вигляду ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}}$. Відповідні системи однорідних рівнянь містять ту ж саму інформацію:

${\displaystyle {\begin{matrix}x=0,\\y+z=0\end{matrix}}\quad {\text{та}}\quad {\begin{matrix}x=0,\\x+y+z=0.\end{matrix}}}$

Зокрема, з обох цих систем випливає рівняння вигляду ${\displaystyle ax+by+bz=0}$.

Еквівалентність визначень

Факт того, що дві матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків, є важливою теоремою лінійної алгебри. Доказ базується на таких спостереженнях:

1. Елементарні операції над рядками не впливають на простір рядків матриці. Зокрема, будь-які дві еквівалентні за рядками матриці мають однаковий простір рядків.
2. Будь-яку матрицю можна звести елементарними операціями над рядками до матриці у скороченій формі рядків.
3. Дві матриці у скороченій формі рядків мають однаковий простір рядків тоді й лише тоді, коли вони рівні.

Цей алгоритм міркувань також доводить, що кожна матриця та унікальна матриця, зі скороченою формою ешелону рядка, є еквівалентними за рядками.

Додаткові властивості

• Оскільки нульовий простір матриці є ортогональним доповненням простору рядків, дві матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий нульовий простір.
• Ранг матриці дорівнює розмірності простору рядків, тому еквівалентні за рядками матриці повинні мати однаковий ранг. Він дорівнює кількості опорних елементів^[en] у формі ешелону скороченого ряду.
• Матриця є невиродженою тоді й лише тоді, коли вона є еквівалентною за рядками з одиничною матрицею.
• Матриці ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли існує невироджена матриця ${\displaystyle P}$ така, що ${\displaystyle A=PB}$.^[2]

Див. також

• Елементарні операції з рядками
• Простір рядка
• Базис (лінійна алгебра)
• Скорочення рядків
• (Зменшена) рядова ешелонна форма