Ексцентрична аномалія

Ексцентрична аномалія в орбітальній механіці — кутовий параметр, що визначає положення тіла, яке рухається еліптичною кеплерівською орбітою. Це кут, виміряний з центру еліпса між періапсом орбіти та поточним положенням тіла. Ексцентрична аномалія — один із трьох кутових параметрів («аномалій»), які можна використовувати для визначення положення вздовж орбіти, два інших — істинна аномалія та середня аномалія.

Графічне представлення

Ексцентричною аномалією точки P є кут E. Точка O — центр еліпса, точка F — фокус.

Розгляньмо еліпс, заданий рівнянням

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

де a — велика піввісь, а b — мала піввісь.

Для точки на еліпсі, ${\displaystyle P=P(x,y)}$, що представляє положення тіла, яке обертається по еліптичній орбіті, ексцентрична аномалія — це кут E на рисунку. Ексцентрична аномалія E — це один із кутів прямокутного трикутника з однією вершиною в центрі еліпса, суміжною стороною на великій осі, гіпотенузою a (що дорівнює великій півосі еліпса) та протилежною стороною (яка перпендикулярна до великої осі та містить точку P' на допоміжному колі радіуса a), що проходить через точку P. Ексцентричну аномалію вимірюють у тому ж напрямку, що й істинна аномалія, показана на рисунку як ${\displaystyle \theta }$. Ексцентрична аномалія E в цих координатах визначається формулами^[1]

${\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}},}$

і

${\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}$

Друге рівняння можна визначити за допомогою співвідношення

${\displaystyle \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1-\cos ^{2}E=\sin ^{2}E}$,

яке означає, що ${\displaystyle \sin E=\pm {\frac {y}{b}}}$. Рівняння ${\displaystyle \sin E=-{\frac {y}{b}}}$ можна одразу виключити, оскільки воно перетинає еліпс у неправильному напрямку. Також можна вважати, що друге рівняння походить з подібного трикутника, протилежна сторона якого має таку ж довжину y, як і відстань від P до великої осі, а гіпотенуза b дорівнює малій півосі еліпса.

Формули

Радіус та ексцентрична аномалія

Ексцентриситет e визначається як:

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .}$

З теореми Піфагора, застосованої до трикутника з гіпотенузою r (відстанню ${\displaystyle FP}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

Таким чином, радіус (відстань від фокуса до точки P) пов'язаний з ексцентричною аномалією формулою

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .}$

За цією формулою ексцентричну аномалію можна визначити з істинної аномалії, як показано далі.

Через істинну аномалію

Істинна аномалія, позначена ${\displaystyle \theta }$ на рисунку, — це кут, виміряний у фокусі еліпса. (Іноді його також позначають як f або ν.) Істинна аномалія та ексцентрична аномалія пов'язані наступним чином^[2].

Використовуючи наведену вище формулу для r, синус і косинус E виражають через f:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{aligned}}}$

Отже,

${\displaystyle \tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.}$

де правильний квадрант для E задається знаками чисельника та знаменника, тому E найлегше знайти за допомогою функції atan2.

Отже, кут E є прилеглим кутом прямокутного трикутника з гіпотенузою ${\displaystyle \;1+e\cos f\;,}$ суміжною стороною ${\displaystyle \;e+\cos f}$ і протилежною стороною ${\displaystyle \;{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\;.}$

Також,

${\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}$

Підставляючи ${\displaystyle \cos E}$ як знайдено вище у виразі для r, радіальну відстань від фокальної точки до точки P також можна знайти через істинну аномалію^[2]:

${\displaystyle r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,}$

де

${\displaystyle \,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)}$

Через середню аномалію

Ексцентрична аномалія E пов'язана із середньою аномалією M рівнянням Кеплера^[3]:

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Це рівняння не має розв'язку у замкненій формі для E при заданому M. Зазвичай його розв'язують чисельними методами, наприклад, методом Ньютона-Рафсона. Його можна виразити у вигляді ряду Фур'є як

${\displaystyle E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}$

де ${\displaystyle J_{n}(x)}$ — функція Бесселя першого роду.

Див. також

• Вектор ексцентриситету
• Ексцентриситет орбіти