Елементарна алгебра

Елемента́рна а́лгебра (англ. Elementary algebra) — алгебра, що подається у вигляді навчальної дисципліни, орієнтованої на вивчення у загальноосвітній школі. Разом з арифметикою, елементарною геометрією та плоскою тригонометрією належить до елементарної математики, яка вивчається у рамках шкільної програми^[1]. Дисципліна розглядає: основні поняття алгебри, основи комбінаторики, алгебраїчні вирази, раціональні та ірраціональні рівняння, системи рівнянь, функції та їх графіки, числові послідовності тощо.

Основні поняття

В алгебрі прийнято записувати математичні вирази (формули) в узагальненому виді, замінюючи конкретні числа на літерні символи, завдяки чому при вирішенні однотипних задач досягається максимальна узагальненість результату. Основним змістом алгебри є правила тотожних перетворень формул, що є необхідними для вирішення рівнянь, аналізу залежностей, оптимізації системи, що розглядається та інших практичних задач^[2].

Крім літер і чисел, у формулах елементарної алгебри використовуються арифметичні операції: (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня) та елементарні функції (логарифм, тригонометричні функції). Дві формули, об'єднані знаком рівності, називаються рівнянням.

Алгебраїчна нотація визначає загальні особливості запису алгебраїчних виразів. Тут є певні правила, домовленості та спеціальна термінологія. Наприклад у виразі ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$ є наступні компоненти:

1 : Показник степеня, 2 : Коефіцієнт, 3 : Доданок, 4 : Оператор, 5. Константа, ${\displaystyle x,y}$ : змінні

Якщо символ операції між двома виразами не вказаний, то мається на увазі операція множення:

${\displaystyle ab=a\cdot b;\;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x;\;\pi (a^{2}+b^{2})=\pi \cdot (a^{2}+b^{2})}$

Приклад формули: площа трикутника ${\displaystyle S}$ так виражається через довжину однієї із сторін ${\displaystyle a}$ і величину висоти ${\displaystyle h}$, опущеної на сторону ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle S={1 \over 2}ah}$

Найпростіший алгебраїчний вираз — це одночлен, що складається з числового множника, помноженого на один або більше літерних символів^[3]. Приклади:

${\displaystyle 1{,}2\ x;\;{\sqrt {2}}abc^{2};\;x^{2}w}$

Алгебраїчні суми (тобто суми та/або різниці) одночленів називають многочленами. Вирази, що мають вид частки від ділення одного многочлена на інший, називається алгебраїчним дробом. Дії з алгебраїчними дробами є аналогічними до дій із звичайними дробами — розкладання чисельника й знаменника на множники, приведення декількох дробів до спільного знаменника, скорочення чисельника й знаменника на спільний множник тощо.

Закони елементарної алгебри

Обчислення значення виразу

Порядок виконання операцій вказується дужками. Якщо дужки відсутні, то пріоритетність у порядку зменшення є наступною:

1. Піднесення до степеня.
2. Обчислення функції.
3. Множення та ділення.
4. Додавання та віднімання.

Приклади:

• ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}$
• ${\displaystyle \sin x^{2}=\sin(x^{2})}$
• ${\displaystyle \sin a+b=(\sin a)+b}$

При обчисленні значення виразу замість літерних символів підставляють їхні числові значення, виходячи з умови конкретної задачі. Множина числових значень, при яких вираз має зміст, називається областю допустимих значень цього виразу^[4]. Приклад: для виразу ${\displaystyle ~{\frac {a+b}{a-b}}}$ область допустимих значень — усе пари ${\displaystyle a,b}$, у яких ${\displaystyle a\neq b}$.

Властивості операцій

• Комутативність (властивість перестановки) додавання:

${\displaystyle a+b=b+a.\ }$

• Віднімання є дією, оберненою до додавання.
• Віднімання числа b є рівнозначним додаванню числа протилежного знаку:

${\displaystyle a-b=a+(-b).\ }$

• Комутативність (властивість перестановки) множення:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\ }$

• Ділення є дією, оберненою до множення.
• Ділення на нуль є неможливим.
• Ділення на число b є рівнозначним множенню на число, обернене до b:

${\displaystyle {a \over b}=a\left({1 \over b}\right).}$

• Піднесення до степеня не є комутативним. Тому у нього є дві обернені операції: добування кореня й логарифмування.
  • Приклад: якщо ${\displaystyle 3^{x}=10}$, то ${\displaystyle x=\log _{3}10.}$ Якщо ${\displaystyle x^{2}=10}$, то ${\displaystyle ~x={\sqrt {10}}.}$
• Корінь парного степеня з від'ємного числа не існує (серед дійсних чисел).
• Асоціативна (сполучна) властивість додавання: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$
• Асоціативна (сполучна) властивість множення: ${\displaystyle (ab)c=a(bc).}$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість множення: ${\displaystyle c(a+b)=ca+cb.}$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість для піднесення до степеня: ${\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}.}$
• Додавання показників степеня: ${\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}.}$
• Множення показників степеня: ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}.}$

Властивості рівності

• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle b=c}$, то ${\displaystyle a=c}$ (транзитивність рівності).
• ${\displaystyle a=a}$ (рефлексивність).
• Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle b=a}$ (симетричність).

Інші закони

• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle a+c=b+d.}$ (адитивність рівності)
  • Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle a+c=b+c}$ для будь-якого c
• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle ac}$ = ${\displaystyle bd.}$ (мультиплікативність рівності)
  • Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle ac=bc}$ для будь-якого c
• Якщо значення двох символів збігаються, то замість одного можна підставити інший (принцип підстановки).
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle b>c}$, то ${\displaystyle a>c}$ (транзитивність порядку).
• Якщо ${\displaystyle a>b}$, то ${\displaystyle a+c>b+c}$ для будь-якого c.
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle ac>bc.}$
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle c<0}$, то ${\displaystyle ac<bc.}$

Деякі алгебраїчні тотожності

Див. також: Біном Ньютона

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$

Розв'язування рівнянь

Докладніше: Рівняння

Рівняння — це рівність виду:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2}\dots )=g(x_{1},x_{2}\dots )}$

Розв'язування рівняння — сукупність дій стосовно рівності, для знаходження таких значень аргументів, при яких ця рівність забезпечується. На можливі значення аргументів можуть бути накладені додаткові умови (цілочисельності, дійсності тощо). Розв'язування рівнянь — одна з головних задач алгебри зокрема і математики взагалі. У ході історичного розвитку науки були розроблені різноманітні методи (алгоритми) розв'язування для великої кількості різновидів цієї задачі.

Див. також

• Алгебра
• Таблиця математичних символів
• Історія математичних позначень