Еліптичні функції Веєрштрасса

Еліптичні функції Веєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Веєрштрасса. Також їх називають ${\displaystyle \wp }$-функціями Веєрштрасса, і використовують для їх позначення символ ${\displaystyle \wp }$ (стилізоване P).

Еліптичні функції Веєрштрасса
Названо на честь	Карл Веєрштрасс
Формула	${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}\left({\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right)}$
Нотація	℘d
Еліптичні функції Веєрштрасса у Вікісховищі

Визначення

Нехай задана деяка ґратка ${\displaystyle \Gamma }$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Тоді ${\displaystyle \wp }$-функцією Веєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).}$

Можна побачити, що така функція буде ${\displaystyle \Gamma }$-періодичною на ${\displaystyle \mathbb {C} }$, і тому є мероморфною функцією на ${\displaystyle E}$.

Ряд, що задає функцію Веєрштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, ${\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{(z-w)^{2}}}}$ — «наївної» спроби задати ${\displaystyle \Gamma }$-періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на ${\displaystyle \Gamma }$ має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як ${\displaystyle {\frac {1}{|w|^{2}}}}$, а сума ${\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{|w|^{2}}}}$ по двовимірних ґратках ${\displaystyle \Gamma }$ є розбіжною.

Варіанти визначення

Задаючи ґратку ${\displaystyle \Gamma }$ її базисом ${\displaystyle \Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$, можна записати

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).}$

Також, оскільки функція Веєрштрасса як функція трьох змінних однорідна ${\displaystyle \wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{-2}wp(z;\omega _{1},\omega _{2})}$, позначивши ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$, має місце рівність:

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ).}$

Тому розглядають

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m-n\tau )^{2}}}-{\frac {1}{(m+n\tau )^{2}}}\right).}$

Властивості

• Функція Веєрштрасса ${\displaystyle \wp _{E}:E\mapsto {\widehat {\mathbb {C} }}}$ — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
• Скориставшись розкладом ${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{j=1}^{\infty }{\frac {j+1}{w^{j+2}}}z^{j}}$ і посумувавши по ${\displaystyle w\in \Gamma \setminus \{0\}}$, можна одержати розклад в точці ${\displaystyle z=0}$ функції Веєрштрасса в ряд Лорана:

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=2}^{\infty }(2k+1)G_{2k}(\Gamma )z^{2k-2},}$ де ${\displaystyle G_{2k}(\Gamma )=\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}w^{-2k}}$  — ряди Ейзенштейна для ґратки ${\displaystyle \Gamma }$ (відповідні непарні суми рівні нулю).

Проте, коефіцієнти при ${\displaystyle z^{2}}$ і ${\displaystyle z^{4}}$ часто записують в іншій, традиційній формі:

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,}$

де ${\displaystyle g_{2}}$ і ${\displaystyle g_{3}}$ — модулярні інваріанти ґратки ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).}$

Диференціальні і інтегральні рівняння

Диференціальні рівняння

З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння:

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$.

Інтегральні рівняння

Еліптичні функції Веєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай

${\displaystyle u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$

де g₂ і g₃ приймаються константами. Тоді

${\displaystyle y=\wp (u).}$

Модулярний дискримінант

Дійсна частина дискримінанта як функція від ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ на одиничному крузі

Модулярний дискримінант ${\displaystyle \Delta }$ еліптичної функції Веєрштрасса означується як дискримінант многочлена в правій частині диференціального рівняння наведеного вище: $${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$

Дискримінант є модулярною формою ваги 12. Це означає, що під дією модулярної групи він перетворюється за правилом $${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$ де ${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$ такі, що ${\displaystyle ad-bc=1}$.^[1]

Справедлива рівність ${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$, де ${\displaystyle \eta }$ позначає ета-функцію Дедекінда^[en].^[2]

Коефіцієнти Фур'є розкладу ${\displaystyle \Delta }$ в ряд по степенях ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ визначаються через тау-функцію Рамануджана^[en].

Додаткові властивості

Для еліптичних функцій Веєрштрасса виконується:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0}$

(або в більш симетричній формі

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0}$

де ${\displaystyle u+v+w=0}$).

Також

${\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).}$

і

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),}$

якщо ${\displaystyle 2z}$ не є періодом.

Вираження довільних еліптичних функцій через функції Веєрштрасса

Будь-яка еліптична функція з періодами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ може бути представлена у вигляді ${\displaystyle f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp }'(z)}$ де h, g — раціональні функції, ${\displaystyle \wp (z)}$ — функція Веєрштрасса з тими ж періодами що і у ${\displaystyle f(z)}$. Якщо при цьому ${\displaystyle f(z)}$ є парною функцією, то її можна представити у вигляді ${\displaystyle f(z)=h(\wp (z))}$, де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ є скінченним розширенням поля ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел, з породжуючими елементами ${\displaystyle \wp (z)}$ і ${\displaystyle {\wp }'(z)}$.

Див. також

• Еліптична функція
• Еліптична крива
• Еліптичні функції Якобі
• Ряди Ейзенштейна