Парна функція

Па́рна фу́нкція — функція ${\displaystyle f:X\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, визначена на симетричній (відносно початку координат) множині ${\displaystyle X}$, яка не змінює значення при зміні знаку аргумента, тобто:

${\displaystyle f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.\!}$

Приклад парної функції: f(x) = x²

Графік парної функції дзеркально-симетричний відносно осі ординат.

Властивості

• Сума і різниця парних функцій буде парною функцією
• Добуток і частка парних функцій буде парною функцією
• Добуток і частка непарних функцій буде парною функцією
• Композиція парних функцій буде парною функцією

Приклади

• ${\displaystyle y=|x|}$
• ${\displaystyle y=x^{2}}$
• ${\displaystyle y=7x^{4}-4x^{2}+5-{\frac {3}{x^{2}}}}$ (тільки парні степені)
• ${\displaystyle y=\cos x}$

Алгоритм дослідження функції на парність

Дослідження функції на парність - це вивчення питання про те, чи є задана функція парною.

Алгоритм дослідження функції ${\displaystyle y=f(x)}$ на парність:

• Знайти для функції ${\displaystyle y=f(x)}$ область визначення функції (${\displaystyle D(y)}$ ) та встановити чи симетрична ${\displaystyle D(y)}$ відносно нуля.
• Якщо область визначення функції (${\displaystyle D(y)}$) симетрична відносно нуля, тоді:
  • скласти вираз ${\displaystyle f(-x)}$;
  • порівняти ${\displaystyle f(-x)}$ та ${\displaystyle f(x)}$, якщо рівність ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ справджується для будь-якого значення ${\displaystyle x}$ з області визначення функції (${\displaystyle D(y)}$), то функція ${\displaystyle y=f(x)}$ - парна.

Приклади дослідження парності функції

Приклад 1. Дослідити на парність функцію ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}}$

Розв'язання:

Областю визначення функції ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}}$ : ${\displaystyle D(y)=(-\infty$ ;-{\sqrt {5}})\cup (-{\sqrt {5}};{\sqrt {5}})\cup ({\sqrt {5}};+\infty )} - симетрична відносно нуля. Замінити аргумент ${\displaystyle x}$ функції ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}}$ на ${\displaystyle -x}$, отримаємо : ${\displaystyle f(-x)={\frac {(-x)^{6}}{(-x)^{2}-5}}}$. Оскільки аргумент в чисельнику і знаменнику в парному степені, а степінь від'ємного числа з парним показником є додатним числом, тому ${\displaystyle f(-x)={\frac {(-x)^{6}}{(-x)^{2}-5}}={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}}$. Виконується тотожність ${\displaystyle f(-x)=f(x),x\neq {\sqrt {5}};x\neq -{\sqrt {5}}}$, тому функція ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}}$ - парна.

Див. також

• Непарна функція
• Парність (математика)

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Вірченко Н. О., Ляшко І. І., Швецов К. І. Графіки функцій. Довідник. — Київ : Наукова думка, 1977. — 320 с.(укр.)
• Функція парна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Теза, 2006.