Золотий трикутник (геометрія)

Золотий трикутник^[1] — рівнобедрений трикутник, у якому бічні сторони знаходиться у золотому перетині ${\displaystyle \varphi }$ до основи:

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618~034~.}$

Золотий трикутник. Співвідношення a / b — це золотий перетин φ. Кут між бічними сторонами трикутника дорівнює ${\displaystyle \theta =36^{\circ }}$ . Кути при основі дорівнюють 72 ° кожен.

Золотий гномон.

Кути

• Кут при вершині^[2] дорівнює

${\displaystyle \theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

Отже, золотий трикутник — рівнобедрений трикутник з гострим кутом при вершині.

• Оскільки кути трикутника складають ${\displaystyle \pi ~{\text{rad}}}$, кожен з базових кутів (CBX і CXB) дорівнює:

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$^[1]

Примітка:

${\displaystyle \beta =\arccos {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$

• Золотий трикутник однозначно визначений як єдиний трикутник, який має три кути у пропорціях 1: 2: 2 (36 °, 72 °, 72 °).^[3]

В інших геометричних фігурах

• Золоті трикутники можна знайти у вершинах правильних пентаграм .
• Золоті трикутники також можна знайти в правильному десятикутнику, рівносторонньому десятигранному багатокутнику, з'єднавши будь-які дві сусідні вершини з центром. Це тому, що: 180 (10-2) / 10 = 144 ° — це внутрішній кут, а поділивши його, маємо: 144/2 = 72 °.^[1]
• Також золоті трикутники зустрічаються в розгортках кількох зірок додекаедрів та ікосаедрів .

Логарифмічна спіраль

Золоті трикутники, вписані в логарифмічну спіраль

Золотий трикутник використовується для формування деяких точок логарифмічної спіралі . Поділивши один із кутів при основі навпіл, з'являється нова точка, яка, у свою чергу, утворює ще один золотий трикутник.^[4] Процес поділу можна продовжувати безліч разів, створюючи нескінченну кількість золотих трикутників. Через вершини можна провести логарифмічну спіраль. Ця спіраль також відома як рівнокутна спіраль, термін, який ввів Рене Декарт . «Якщо від полюса до будь-якої точки кривої проведена пряма лінія, вона перетне криву завжди під одним і тим самим кутом», отже, рівнокутна .^[5]

Золотий гномон

Золотий трикутник, розділений на трикутники Робінсона: золотий трикутник і золотий гномон.

Звичайна пентаграма . Кожен кут — це золотий трикутник. Фігура також містить п'ять «великих» золотих гномонів, утворених шляхом приєднання до центрального п'ятикутника двох несуміжних кутів. Побудувавши п'ять сторін «великого» п'ятикутника навколо пентаграми, утворимо п'ять «малих» золотих гномонів.

З золотим трикутником тісно пов'язаний золотий гномон, це рівнобедрений трикутник, у якому відношення довжин рівних сторін до довжини основи є оберненим ${\displaystyle {1 \over \varphi }}$ до золотого перерізу ${\displaystyle \varphi }$ .

« У золотому трикутник відношення довжини основи до довжини сторони, дорівнює золотому перерізу φ, тоді як у золотому гномоні відношення довжини сторони до довжини основи, дорівнює золотому перерізу φ.»^[6]

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618034.}$

Кути

(Відстані AX і CX дорівнюють a '= a = φ, а відстань AC дорівнює b' = φ², як видно на малюнку.)

• Кут при вершині AXC дорівнює:

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}={\biggl (}2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}{\biggr )}=2\arcsin {\varphi \over 2}=2\arcsin {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }.}$

Звідси золотий гномон — тупий (рівнобедрений) трикутник.

${\displaystyle (}$ Примітка: ${\displaystyle \theta '=\arccos {{1-{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }.)}$

• Оскільки кути трикутника AXC складають ${\displaystyle \pi ~rad}$, кожен з кутів при основі CAX і ACX дорівнює:

${\displaystyle \beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }.}$

Примітка:

${\displaystyle \beta '=\theta =\arccos {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }.}$

• Золотий гномон однозначно ідентифікується як трикутник, що має три кути у пропорціях 1: 1: 3 (36 °, 36 °, 108 °). Кути при основі його дорівнюють 36 °, що відповідає вершині золотого трикутника.

Бісекція

• Поділивши один з кутів при основі на 2 рівні кути, золотий трикутник можна розділити на золотий трикутник та золотий гномон.
• Поділивши його кут при вершині на 2 кути (один вдвічі більший за інший), золотий гномон може бути поділений на золоті трикутники та золотий гномон.
• Золотий гномон і золотий трикутник з спільною стороною, також називають тупим і гострим трикутниками Робінсона.^[3]

Мозаїка Пенроуза

• Ці рівнобедрені трикутники також можна використовувати для виготовлення мозаїки Пенроуза. Плитки Пенроуза утворюються з «зміїв» та «дротиків». Змії утворюються з двох золотих трикутників, а дротик — з двох гномонів.

Плитки в мозаїці Пенроуза

Сім можливих типів вершин в мозаїці Пенроуза типу P2

Див. також

• Золотий прямокутник
• Золотий ромб
• Трикутник Кеплера
• Золотий трикутник Кімберлінга
• Лютня Піфагора^[en]
• Пентаграма

Список літератури

• Kimberly Elam. Geometry of Design. — New York : Princeton Architectural Press, 2001. — ISBN 1-56898-249-6.
• H.E. Huntley. The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty. — New York : Dover Publications Inc, 1970. — ISBN 0-486-22254-3.
• Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. — Broadway Books, 2002. — ISBN 0-7679-0815-5.
• Arthur Loeb. Concepts and Images: Visual Mathematics. — Boston : Birkhäuser Boston, 1992. — ISBN 0-8176-3620-X.