Квадратний корінь матриці

Квадратний корінь матриці — матрична функція, є розширенням поняття квадратного кореня з чисел на матриці.

Матриця ${\displaystyle \mathbf {B} }$ є коренем матриці ${\displaystyle \mathbf {A} }$ якщо добуток матриць ${\displaystyle \mathbf {BB} }$ рівний ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Властивості

В загальному випадку квадратна матриця може мати декілька коренів. Наприклад, матриця ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)}$ має корені ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)}$ та ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)}$.

Одинична матриця ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ має нескінченно багато симетричних раціональних квадратних коренів виду:

${\displaystyle {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrix}}\right),}$

де ${\displaystyle (r,s,t)}$ — піфагорові трійки, тобто, натуральні числа для яких виконується ${\displaystyle r^{2}+s^{2}=t^{2}}$.

Хоча невід’ємноозначена матриця розміру n×n завжди має рівно один корінь, який називається арифметичним квадратним коренем, всього в неї 2ⁿ коренів.

Розклавши таку матрицю за власними векторами, отримаємо ${\displaystyle \mathbf {VDV^{-1}} ,}$ де ${\displaystyle \mathbf {D} }$ — діагональна матриця з власними значеннями ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$. Отже квадратним коренем буде матриця ${\displaystyle \mathbf {VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}} ,}$ де ${\displaystyle \mathbf {D^{\frac {1}{2}}} }$ — діагональна матриця з елементами ${\displaystyle \pm {\sqrt {\lambda _{i}}}}$ на діагоналі.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Ланкастер П.(інші мови). Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Р.Хорн(інші мови), Ч.Джонсон(інші мови). Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)