Квант магнітного потоку

Ква́нт магні́тного пото́ку одинична порція магнітного потоку, яка може існувати всередині надпровідникового зразка з тороїдальною топологією.

CODATA значення		Одиниці
Φ0	2.067833 848 … × 10−15	Вб
KJ	483597,8484… × 109	Гц/В
KJ-90	483597,9 × 109	Гц/В

Квант магнітного потоку
Числове значення	0 вебер[1]
Формула	${\displaystyle \Phi _{0}={\frac {h}{2e}}}$[2]
Позначення у формулі	${\displaystyle \Phi _{0}}$, ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle e}$
Символ величини (LaTeX)	${\displaystyle \Phi _{0}}$[2]
Фізична величина	магнітний потік
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Квант магнітного потоку дорівнює

${\displaystyle \Phi _{0}={\frac {\pi \hbar c}{|e|}}=2.067833636\cdot 10^{-7}}$ Гс·см²  (СГС)     та     ${\displaystyle \Phi _{0}={\frac {\hbar \pi }{|e|}}=2.067833636\cdot 10^{-15}}$ В·с (СІ).

де ${\displaystyle \hbar }$ — приведена стала Планка, c — швидкість світла, e — елементарний заряд. Величина, обернена до кванту магнітного потоку називається сталою Джозефсона

${\displaystyle K_{J}=1/\Phi _{0}=483597.9\times 10^{9}}$ Гц·В^-1 (СІ).

Явище квантування магнітного потоку в надпровідниках було теоретично передбачене Фріцом Лондоном в 1948 році й зафіксовано експериментально в 1961 році американськими ^[3] та німецькими ^[4] дослідниками.

Фізична природа

Електричний струм в надпровідному колі протікає без втрат і не загасає. Проте квантова природа надпровідного стану вимагає, щоб при обході кола хвильова функція надпровідника змінювала свою фазу на число кратне ${\displaystyle 2\pi }$. Ця вимога призводить до квантування струму в колі. Квантується також і магнітне поле, яке створене цим струмом. Якщо дискретні значення струму залежать від довжини кола, то магнітний потік завжди пропорційний певній сталій, яка отримала назву кванту магнітного потоку.

${\displaystyle \Phi =n\Phi _{0}\,}$,

де n — певне квантове число, яке може мати лише цілі значення.

Квантовані значення струму^[5]:

${\displaystyle J={\frac {\pi \hbar c^{2}}{|e|L}}n}$  (СГС)     та     ${\displaystyle J={\frac {\pi \hbar }{|e|L}}n}$   (СІ)

де L — індуктивність зразку.

Математичний опис

Густина надпровідного струму у випадку надпровідника у магнітному полі може бути подана у вигляді (розгляд задачі проводиться в системі СІ) узагальненого другого рівняння Лондонів:

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {e\hbar }{m}}\left(\nabla \theta -{\frac {2e}{\hbar }}\mathbf {A} \right)\rho ~,}$

де ${\displaystyle \mathbf {A} }$- векторний потенціал магнітного поля, ${\displaystyle \theta \ }$- фаза хвильової функції, m - маса електрона, а ${\displaystyle \rho =|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\ }$- густина носіїв надпровідного струму.

Нехай надпровідник з отвором знаходиться при температурі вищій за критичну, тобто він знаходиться в нормальному а не в надпровідному стані. Якщо до нього прикласти зовнішнє магнітне поле перпендикулярно до площини отовору, а потім знизити температуру нижче критичної, то магнітне поле виштовхнеться із тіла надпровідника й лише в отоворі залишиться деякий потік магнітного поля.

Якщо проінтегрувати рівняння для надпровідного струму вздовж деякого замкненого контуру ${\displaystyle \Gamma }$, що охоплює отвір, але проходить достатньо далеко від краю отвору (на відстані, що значно перевищує лондонівську глибину проникнення), то, маючи на увазі, що ${\displaystyle \mathbf {j} =0}$ в силу віддаленості від країв надпровідника, отримуємо наступне співвідношення:

${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {\nabla } \theta \,d\mathbf {l} ={\frac {2e}{\hbar }}\oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,d\mathbf {l} }$.

Оскільки ${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,d\mathbf {l} =\Phi }$ є за визначенням магнітним потоком через площу, яку охоплює контур ${\displaystyle \Gamma }$, отримуємо

${\displaystyle \Phi ={\frac {\Phi _{0}}{2\pi }}\oint _{\Gamma }\nabla \theta \,d\mathbf {l} =n\Phi _{0}~.}$

де ${\displaystyle n=0,1,2,3,...}$- число квантів магнітного потоку. З вищенаведеного випливає, що функція ${\displaystyle \theta (\mathbf {r} )}$ є багатозначною, оскільки вона змінюється на певну величину після кожного обходу по контуру ${\displaystyle \Gamma }$. З іншого боку хвильова функція надпровідного конденсату ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\rho }}e^{i\theta (\mathbf {r} )}}$ є однозначною функцією. Якщо ж при обході контуру та поверненні у вихідну точку фаза ${\displaystyle \theta (\mathbf {r} )}$ може змінитися на величину, кратну числу ${\displaystyle 2\pi }$, то хвильова функція загалом залишиться незмінною, оскільки ${\displaystyle e^{2i\pi n}=1}$.

Переписавши вираз для надпровідного стуму та проінтегрувавши його по контуру можна ввести величину

${\displaystyle \Phi '\equiv {\frac {\hbar }{2e}}\oint _{\Gamma }\mathbf {\nabla } \theta \,d\mathbf {l} =\Phi +{\frac {m}{2e^{2}}}\oint _{\Gamma }{\frac {\mathbf {j} d\mathbf {l} }{|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}}}~,}$

яку Фріц Лондон назвав флюксоїдом. Для розглянутого вище випадку надпровідникового зразку з тороїдальною геомерією флюксоїд збігається з потоком магнітного поля через поверхню внаслідок занулення струму ${\displaystyle \mathbf {j} }$ в другому доданку. Якщо цей струм не можна вважати рівним нулеві, зокрема в надпровідниках II-ого роду, то слід враховувати обидва доданки.

Застосування

Вимірювання для ефекту Джозефсона

Ефект квантування магнітного потоку є основою функціонування СКВІДів^[en] (надпровідних квантових інтерферометрів) - приладів, за допомогою яких вимірюють магнітні поля, зокрема надзвичайно слабкі.

При нестаціонарному ефекті Джозефсона наявність напруги на переході ${\displaystyle V_{0}}$ приводить до випромінювання з кутовою частотою:

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {e}{\hbar }}V_{0}}$.

Якщо на перехід подати змінний сигнал, то на вольт-амперній характеристиці можна виявити східці. Іншими словами, частота випромінювання ${\displaystyle \omega _{0}}$ повиння бути кратною до частоти зовнішнього змінного сигналу ${\displaystyle \omega }$, тобто:

${\displaystyle \omega _{0}=n\omega \ }$

${\displaystyle n=1,2,...\ }$

Таким чином, значення напруг, при яких з'являються східці, рівні:

${\displaystyle V_{0n}=n{\frac {\hbar }{e}}\omega }$

${\displaystyle n=1,2,...\ }$.

Точки, поставлені після ${\displaystyle n=1,2}$, слід сприймати цілком серйозно, оскільки ${\displaystyle n}$ може досягати досить великих значень - понад сотню. Точність вимірювання повністю визначається точністю задання напруги ${\displaystyle V_{0}}$, оскільки точність вимірювання частот на сьогоднішній день є надзвичайно висока.

Магнітне поле може проникати в довгий контакт Джозефсона^[en] також у вигляді квантів ${\displaystyle \Phi _{0}}$. Результатом такого проникнення є утворення так званих джозефсонівських вихорів або флуксонів^[en], що є солітонами.

Див. також

• Надпровідність
• Ефект Джозефсона

Література

• V.V. Schmidt (1997). P. Müller, A.V. Ustinov (ред.). The Physics of Superconductors. Introduction to Fundamentals and Applications (англійська) . Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 3-540-61243-2. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)

• M. Tinkham (1996). Introduction to Superconductivity (англійська) (вид. 2d ed.). New York: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0070648786. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)

• Д. Р. Тилли, Дж. Тилли (1977). Сверхтекучесть и сверхпроводимость (російська) . Москва: Мир. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)

• Л. Солимар (1974). Туннельный эффект в сверхпроводниках и его применение (російська) . Москва: Мир. с. 428. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)