Спряжені числа

Спря́женими числами (також комплексно-спря́женими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини^[1]. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа ${\displaystyle z\!}$ позначається ${\displaystyle {\overline {z}}}$. У загальному випадку, спряженим до числа ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=a+ib,\,}$

Геометричне представлення ${\displaystyle z}$ та його спряженого ${\displaystyle {\bar {z}}}$ на комплексній площині

де ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ — дійсні числа, є

${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib.\,}$

Наприклад,

${\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}$

${\displaystyle {\overline {7}}=7}$

${\displaystyle {\overline {i}}=-i.}$

На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд ${\displaystyle re^{i\phi }}$ та ${\displaystyle re^{-i\phi }}$, що безпосередньо випливає з формули Ейлера.

Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.

Властивості

Для довільних комплексних чисел ${\displaystyle z}$ та ${\displaystyle w}$:

• ${\displaystyle {\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}\!\ }$

• ${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }$

• ${\displaystyle {\overline {z}}=z\Leftrightarrow z}$ є дійсним числом

• ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}}$ для всіх цілих ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

• ${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}$

• ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z\!\ }$, (тобто, спряження є інволюцією)

• ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$, якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.

• Якщо ${\displaystyle \phi \,}$ є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено ${\displaystyle \phi (z)\,}$, то

${\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}.\,\!}$

Зокрема:

• ${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\,\!}$
• ${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}\,\!}$, якщо z не дорівнює нулю.
• Якщо ${\displaystyle p}$ — поліном з дійсними коефіцієнтами і ${\displaystyle p(z)=0\!\,}$, то також ${\displaystyle p({\overline {z}})=0}$. Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.

Визначення координат числа та спряження

Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:

• ${\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2}$
• ${\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i}$
• ${\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}$
• ${\displaystyle e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}}$ (якщо z не дорівнює нулю).

Див. також

• Ермітово-спряжена матриця