Ермітово-спряжена матриця

Матриця, ермітово-спря́жена до матриці A з комплексними елементами, отримується в результаті транспонування матриці A і заміни кожного її елемента на комплексно-спряжений.

${\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}$

Визначення також може бути записане так:

${\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{T}={\overline {A^{T}}}}$

де

${\displaystyle A^{T}\!}$ — транспонування,

${\displaystyle {\overline {A}}}$ — заміна елементів матриці на комплексно-спряжені.

Позначення

Ермітове спряження матриці A позначається:

• ${\displaystyle \ A^{*}}$ чи ${\displaystyle \ A^{H}}$ — в лінійній алгебрі,
• ${\displaystyle \ A^{\dagger }}$ — в теоретичній фізиці,

Приклад

Якщо

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{pmatrix}}}$

тоді

${\displaystyle A^{*}={\begin{pmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{pmatrix}}}$

Властивості

• ${\displaystyle \ ({A^{*}})^{*}=A}$
• ${\displaystyle \ (rA)^{*}={\overline {r}}{A}^{*}}$
• ${\displaystyle \ {(A+B)}^{*}={A}^{*}+{B}^{*}}$
• ${\displaystyle \ {(AB)}^{*}={B}^{*}{A}^{*}}$
• ${\displaystyle \ ({A^{*}})^{-1}=({A^{-1}})^{*}}$
• ${\displaystyle \ \det {(A^{*})}=(\det {A})^{*}}$
• ${\displaystyle \ \operatorname {tr} {(A^{*})}=(\operatorname {tr} {A})^{*}}$
• визначник, слід та власні значення ${\displaystyle \ A^{*}}$ комплексно-спряжені до відповідних значень ${\displaystyle \ A}$.
• Для довільної матриці ${\displaystyle \ A,}$ матриці ${\displaystyle AA^{*}}$ та ${\displaystyle A^{*}A}$ будуть ермітовими та невід’ємноозначеними.

Походження

Операція ермітового-спряження для матриць є узагальненням спряження для комплексних чисел.

Якщо представити комплексне число у вигляді матриці 2×2 так:

${\displaystyle a+ib\equiv {\Big (}{\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}}{\Big )}}$,

то операції додавання і множення для комплексних чисел і таких матриць будуть давати однаковий результат.

Див. також

• Теорія матриць
• Ермітова матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)