Континуум-гіпотеза

Конти́нуум-гіпо́теза — гіпотеза, яку висунув Георг Кантор у 1877 і згодом безуспішно намагався її довести, що її можна сформулювати таким чином:

Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або зліченною, або континуальною.

Континуум-гіпотеза
Коротка назва	CH, HC і HC
Названо на честь	континуум[d]
Досліджується в	теорія множин
Першовідкривач або винахідник	Георг Кантор
Дата відкриття (винаходу)	1877
Формула	${\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\Rightarrow \kappa =\aleph _{0}\lor \kappa =2^{\aleph _{0}}}$
Позначення у формулі	${\displaystyle \aleph _{0}}$, ${\displaystyle \kappa }$, ${\displaystyle \lor }$ і ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
Ким вирішена	Курт Гедель і Пол Джозеф Коен

Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі 1900 року. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта.

1940 року Курт Гедель довів, що у системі аксіом Цермело—Френкеля з аксіомою вибору (ZFC), континуум-гіпотезу не можна спростувати (за припущення про несуперечність ZFC^{[Прим. 1]}); а 1963 року американський математик Пол Коен довів, що континуум-гіпотезу не можна довести, виходячи з тих же аксіом (також у припущенні про несуперечність ZFC). Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZFC.

Еквівалентні формулювання

Відомо кілька тверджень, еквівалентних континуум-гіпотезі:

• Пряма ${\displaystyle \mathbb {R} }$ може бути розфарбована в зліченну кількість кольорів так, що ні для якої одноколірної четвірки чисел ${\displaystyle a,b,c,d}$ не виконується умова ${\displaystyle a+b=c+d.}$^[1]
• Площина ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ може бути повністю покрита зліченним сімейством кривих, кожна з яких має вигляд ${\displaystyle y=f(x)}$ (тобто має єдину точку перетину з кожною вертикальною прямою) або ${\displaystyle x=f(y)}$ (має єдину точку перетину з кожною горизонтальною прямою).^[2]
• Простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можна розбити на 3 множини так, що вони перетинаються з будь-якою прямою, паралельною осям Ox, Oy і Oz, відповідно, лише в скінченній кількості точок.^[3]
• Простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можна розбити на 3 множини так, що для кожної з них існує така точка P, що ця множина перетинається з будь-якою прямою, що проходить через P, лише в скінченній кількості точок.^[4]

Узагальнення

Узагальнена континуум-гіпотеза стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S, кожна множина, кардинальне число якої більше, ніж у S, має кардинальне число, яке більше або дорівнює 2^S.

Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як довели Серпінський 1947 р. і Шпеккер 1952 р., з неї випливає аксіома вибору.

Примітки

1. Несуперечність системи аксіом Цермело—Френкеля з аксіомою вибору (ZFC) є необхідною умовою (оскільки в суперечливій системі можна довести будь-яке твердження). Однак, несуперечність ZFC неможливо довести в межах самої ZFC (відповідно до другої теореми Геделя про неповноту).