Конформна група

Конформна група простору — це група перетворень простору в себе зі збереженням кутів. Формальніше, це група перетворень, що зберігає конформну геометрію простору.

Деякі конкретні конформні групи особливо важливі:

• Конформна ортогональна група. Якщо V — векторний простір з квадратичною формоюа Q, то конформна ортогональна група ${\displaystyle \mathrm {CO} (V,Q)}$ є групою лінійних перетворень T простору V, таких що для кожного x із V існує скаляр ${\displaystyle \lambda }$, такий що

  ${\displaystyle Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)}$

  Для знаковизначеної квадратичної форми (тобто або додатно визначеної, або від'ємно визначеної) конформна ортогональна група дорівнює ортогональній групі, помноженій на групу розтягів.

• Конформна група сфери, породжена інверсіями відносно кіл. Ця група відома також як група Мебіуса.
• У евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$, n > 2, конформна група породжується інверсіями відносно гіперсфер.
• У псевдоевклідовому просторі ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p,q}}$ конформною групою є ${\displaystyle \mathrm {Conf} (p,q)\simeq \mathrm {O} (p+1,q+1)/\mathbb {Z} _{2}}$^[1].

Всі конформні групи є групами Лі.

Аналіз кутів

У евклідовій геометрії можна очікувати, що характеристикою буде стандартний кут, але в псевдоевклідовому просторі існує також гіперболічний кут^[en]. У спеціальній теорії відносності різні точки відліку зміни швидкості відносно інших точок відліку, пов'язані з бистротою, гіперболічним кутом. Один зі способів описати лоренців буст — гіперболічне обертання^[en], яке зберігає різницю кутів між швидкостями. Таким чином, вони є конформними перетвореннями відносно гіперболічних кутів.

Один з підходів до опису відповідної конформної групи — імітація групи Мебіуса як конформної групи звичайної комплексної площини. Псевдоевклідова геометрія відповідає альтернативним комплексними площинами, де, замість звичайних комплексних чисел, точками є спліт-комплексні числа або подвійні числа. Як для повного опису групи Мебіуса потрібна сфера Рімана, компактний простір, так само альтернативні комплексні площини вимагають для повного опису компактифікації конформного відображення. У кожному з випадків конформна група задається дробово-лінійними перетвореннями на відповідній площині^[2].

Конформна група простору-часу

1908 року Гаррі Бейтмен^[ru] і Ебенезер Кеннінгем, двоє молодих дослідників із Ліверпульського університету, оголосили ідею конформної групи простору-часу^[3][4][5] (тепер зазвичай позначається як ${\displaystyle C(1,3)}$)^[6]. Вони стверджували, що кінематичні групи конформні, оскільки вони зберігають квадратичну форму простору-часу і тим самим споріднені ортогональними перетвореннями, що розглядається як ізотропна квадратична форма^[en]. Свободи електромагнітного поля не поширюються на кінематичні рухи, а вимагають тільки бути локально пропорційними перетворенням, які зберігають квадратичну форму. У статті 1910 року Гаррі Бейтмен вивчає матрицю Якобі перетворення, яке зберігає світловий конус, і показує, що перетворення має властивість конформності^[7]. Бейтмен і Кеннінгем показали, що ця конформна група є «найбільшою групою перетворень, які залишають рівняння Максвелла структурно інваріантними»^[8].

Ісаак Яглом зробив внесок у математику простору-часу, розглянувши конформні перетворення в подвійних числах^[9]. Оскільки подвійні числа мають властивості кільця, але не поля, дробово-лінійні перетворення вимагають від проєктивної прямої над кільцем^[en] бути бієктивним відображенням.

Традиційно, як у статті Людвіка Зільберштейна^[en] (1914), для подання групи Лоренца використовується кільце бікватерніонів. Для конформної групи простору-часу достатньо розглядати дробово-лінійні перетворення на проєктивній прямій над цим кільцем. Елементи конформної групи простору-часу Бейтменом назвав сферичним перетворенням хвилі^[en]. Конкретне вивчення квадратичної форми простору-часу увібрала в себе сферична геометрія Лі^[en].