Конформно-евклідова модель

Конфо́рмно-евклі́дова моде́ль або моде́ль Пуанкаре́ — модель гіперболічного простору. Існують різновиди моделі — в колі (стереографічна проєкція) і на півплощині для гіперболічної планіметрії, а також у кулі і в півпросторі — для гіперболічної стереометрії, відповідно.

Замощення гіперболічної площини правильними трикутниками.

Конформно-евклідова модель має таку назву тому, що гіперболічні кути дорівнюють відповідним кутам на евклідовій площині між відповідними півдотичними^[1]. Для проєктивної моделі, гіперболічні кути дорівнюють евклідовим кутам лише у виключних випадках, наприклад, така рівність є у початку координат проєктивної моделі.

Історія

Цю модель, як і проективну модель і модель псевдосфери, запропонував Еудженіо Бельтрамі.^[2] Метрику в конформно-евклідовій моделі використано також у знаменитій лекції Рімана «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії», але зв'язок з гіперболічною геометрією виявив саме Бельтрамі. Згодом Анрі Пуанкаре виявив зв'язки цієї моделі з задачами теорії функцій комплексної змінної, що дало одне з перших серйозних застосувань гіперболічної геометрії.

Моделі у крузі і в кулі

Конформно-евклідова модель у крузі.

За гіперболічну площину приймається внутрішність круга (див. мал.) в евклідовому просторі; межа даного круга (коло) називається «абсолютом». Роль геодезичних ліній виконують дуги кіл ${\displaystyle (a,\;b,\;b')}$, перпендикулярних до абсолюту, і його діаметри^[3]; роль рухів — перетворення, одержувані комбінаціями інверсій відносно кіл, дуги яких служать прямими.

Метрика ${\displaystyle ds}$ гіперболічної площини в конформно-евклідовій моделі в одиничному крузі є:

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}(dx^{2}+dy^{2}),}$

де ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ — вісь абсцис і ординат, відповідно^[4].

Аналогічно, для конформно-евклідової моделі в кулі роль абсолюту виконує обмежувальна сфера в тривимірному евклідовому просторі, а гіперболічним простором є внутрішність кулі.

Відстані

У комплексних координатах на одиничному колі відстані можна обчислити за допомогою такої формули:

${\displaystyle \mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {z-w}{1-z\cdot {\bar {w}}}}\right|.}$

Відстань можна виразити через подвійне відношення. Якщо на дузі ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle z_{1}}$ точки розташовано в такому порядку: ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle z_{1}}$ то відстань між точками ${\displaystyle w}$ і ${\displaystyle z}$, у гіперболічній геометрії дорівнює

${\displaystyle d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}}{w-z_{1}}}\right)}$.

Моделі на півплощині й у півпросторі

В моделі Пуанкаре в півплощині за гіперболічну площину приймається верхня півплощина. Пряма, що обмежує півплощину (тобто вісь абсцис), називається «абсолютом». Роль прямих виконують півкола з центрами на абсолюті, що містяться в цій півплощині, і перпендикулярні до абсолюту промені, що починаються на ньому (тобто вертикальні промені). Роль рухів — перетворення, одержувані композицією скінченного числа інверсій із центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні до абсолюту.

Метрика ${\displaystyle ds}$ гіперболічної площини у конформно-евклідовій моделі у верхній півплощині має вигляд: ${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})}$^[4], де ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ — прямокутні координати, відповідно паралельно і перпендикулярно до абсолюту.

Відповідно, в конформно-евклідовій моделі в півпросторі роль абсолюту виконує площина в тривимірному евклідовому просторі, а гіперболічним простором є півпростір, що лежить на цій площині.

Див. також

• Теорема Піка — інваріантна форма леми Шварца, що використовує відстані в конформно-евклідовій моделі.
• Ідеальний трикутник