Проєктивна модель

Проєктивна модель (модель Кляйна, модель Бельтрамі — Кляйна) — модель гіперболічної геометрії, запропонована італійським математиком Еудженіо Бельтрамі. Німецький математик Фелікс Кляйн розробив її незалежно.

Через точку ${\displaystyle P}$ проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають пряму ${\displaystyle a}$

За її допомогою доводиться несуперечливість гіперболічної геометрії в припущенні несуперечливості евклідової геометрії.

Історія

Цю модель запропонував Бельтрамі, поряд з моделлю Пуанкаре і моделлю псевдосфери^[1]

Ще раніше, 1859 року цю модель побудував Кейлі. Але він розглядав її лише як деяку конструкцію в проєктивній геометрії і, мабуть, не помітив зв'язку її з неевклідовою геометрією. 1869 року з його роботою ознайомився 20-річний Кляйн. Він згадує, що 1870 року виступив з доповіддю про роботи Кейлі на семінарі Веєрштрасса і, як він пише, «закінчив її питанням, чи не існує зв'язку між ідеями Кейлі і Лобачевського. Я отримав відповідь, що це — дві дуже віддалені за ідеєю системи». Як каже Кляйн «я дозволив переконати себе цими запереченнями і відклав убік вже дозрілу думку». Однак 1871 року він до цієї думки повернувся, оформив її математично і опублікував^[2].

Модель

Гіперболічну площину подано у цій моделі відкритим диском, обмеженим деяким колом — абсолютом. Точки абсолюту, так звані «ідеальні точки», гіперболічній площині вже не належать. Пряма гіперболічної площини — це хорда абсолюту, що з'єднує дві ідеальні точки.

Рухами гіперболічної геометрії в проєктивній моделі оголошуються проєктивні перетворення площини, що переводять внутрішність абсолюту в себе. Конгруентними вважаються фігури всередині абсолюту, що переводяться одна в одну такими рухами. Якщо точки ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ лежать на хорді ${\displaystyle PQ}$ так, що порядок їх проходження на прямій ${\displaystyle PABQ}$, тоді відстань ${\displaystyle \ell (A,B)}$ у гіперболічній площині визначається як

${\displaystyle \ell (A,B)={\frac {R}{2}}\,{\rm {ln}}(PQ;BA)}$

де ${\displaystyle (PQ;BA)}$ позначає подвійне відношення, ${\displaystyle R}$ — радіус кривини гіперболічної площини.

Зауваження

• Будь-який факт евклідової геометрії, описаний такою мовою, подає деякий факт гіперболічної геометрії. Іншими словами, будь-яке твердження неевклідової гіперболічної геометрії на площині є не що інше, як твердження евклідової геометрії на площині, що стосується фігур усередині кола, переказане в зазначених термінах.

• Евклідова аксіома про паралельні явно не виконується в цій моделі, оскільки через точку ${\displaystyle O}$, що не лежить на даній хорді ${\displaystyle a}$, проходить скільки завгодно хорд, що не перетинають її.

Властивість

• Хорди, які зустрічаються на граничному колі, відповідають асимптотично паралельним прямим.
• Дві хорди перпендикулярні, якщо, продовжені за межі диска, кожна проходить через полюс іншої (полюс хорди — це точка перетину дотичних до абсолюту в кінцевих точках хорди). Хорди, що проходять через центр диска, мають полюс на нескінченності, ортогональний до напрямку хорди (звідси випливає, що прямі кути на діаметрах не спотворені).
• Кола в моделі стають еліпсами;
• Орициклам відповідають еліпси, що мають з абсолютом дотик порядку 4.
• Еквідистанті прямої відповідають дуги еліпсів, дотичних до абсолюту в двох абсолютних точках цієї прямої.

Див. також

• Ідеальний трикутник