Матриця розсіяння

Матриця розсіяння або S-матриця — оператор, який зв'язує між собою початкову і кінцеву хвильові функції квантової системи при розсіянні. Позначається зазвичай ${\displaystyle {\hat {S}}}$:

${\displaystyle \psi (\infty )={\hat {S}}\psi (-\infty )}$.

де ${\displaystyle \psi (-\infty )}$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу в минулому, до акту розсіяння, коли частинки перебувають дуже далеко одна від одної і взаємодією між ними можна знехтувати, а ${\displaystyle \psi (\infty )}$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу після акту розсіяння, коли знову ж, частинки вже встигли розлетітися на таку віддаль, що взаємодією між ними можна знехтувати.

S-матриця унітарна, тобто

${\displaystyle {\hat {S}}^{\dagger }{\hat {S}}=1}$,

де значок ${\displaystyle ^{\dagger }}$ позначає ермітове спряження.

Оператор переходу

Оператор

${\displaystyle {\hat {\mathcal {T}}}={\hat {S}}-1}$

називають оператором переходу.

Розклад

Гамільтоніан системи частинок, які розсіюються одна на іншій можна записати у вигляді

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}={\hat {H}}_{0}^{\prime }+{\hat {V}}^{\prime }}$.

В цьому виразі гамільтоніан системи частинок до розсіяння і після нього розбивається на різні складові для загальності — при зіткненнях склад системи може змінитися, наприклад, електрон може вибити інший електрон із атома.

Якщо функції ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ є власними функціями оператора ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$:

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\varphi _{\alpha }=E_{\alpha }\varphi _{\alpha }}$,

а функції ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ є власними функціями оператора ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}^{\prime }}$:

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}^{\prime }\varphi _{\beta }=E_{\beta }\varphi _{\beta }}$,

то хвильову функцію початкового і кінцевого станів можна розкласти

${\displaystyle \psi (-\infty )=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\varphi _{\alpha }}$

${\displaystyle \psi (\infty )=\sum _{\beta }{\tilde {c}}_{\beta }\varphi _{\beta }}$

Тоді

${\displaystyle {\tilde {c}}_{\beta }=\sum _{\alpha }S_{\beta \alpha }c_{\alpha }}$

Із цього виразу видно, що ${\displaystyle S_{\beta \alpha }}$ є матрицею, загалом нескінченного рангу. Завдяки цьому S-матриця й отримала свою назву.

Імовірність переходу

Імовірність переходу системи із стану ${\displaystyle \alpha }$ в стан ${\displaystyle \beta }$ визначається елементом матриці переходу ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\beta \alpha }}$:

${\displaystyle W_{\alpha \rightarrow \beta }=|{\mathcal {T}}_{\beta \alpha }|^{2}}$

Імовірність переходу в одиницю часу

Беручи до уваги, що енергія системи є інтегралом руху, матриця переходу записується у вигляді:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\beta \alpha }=-2\pi it_{\beta \alpha }\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })}$

Тоді загальна імовірність переходу за нескінченний проміжок часу ${\displaystyle W_{\alpha \rightarrow \beta }}$ дорівнює:

${\displaystyle W_{\alpha \rightarrow \beta }=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}[\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })]^{2}=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-{\frac {1}{2}}T}^{{\frac {1}{2}}T}dt\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })t\right]={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }T}$

Імовірність переходу в одиницю часу ${\displaystyle w_{\alpha \rightarrow \beta }}$ одержимо, поділивши повну імовірність ${\displaystyle W_{\alpha \rightarrow \beta }}$ на повний проміжок часу ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle w_{\alpha \rightarrow \beta }={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })}$

Історія

Матрицю розсіяння ввів у обіг в 1937 році Джон Вілер, а в 1940 році цю ідею підхопив Вернер Гейзенберг.

Див. також

• Оператор еволюції

Джерела

• Ситенко О. Г. Теорія розсіяння. — К. : Либідь, 1993. — 332 с.