Межа (топологія)

Межа множини — це всі такі точки, які перебувають як завгодно близько і до точок в множині, і до точок поза нею^[1].

Множина (світло-синя) і її межа (темно-синя).

Означення

Нехай є топологічний простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ і підмножина ${\displaystyle A\subset X}$. Точка ${\displaystyle x_{0}\in X}$ називається грани́чною точкою підмножини ${\displaystyle A}$, якщо для будь-якого її околу ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}},U\ni x_{0}}$ справедливо:

${\displaystyle U\cap A\neq \emptyset ,\;U\cap A^{\complement }\neq \emptyset .}$

множина всіх граничних точок множини ${\displaystyle A}$ називається межею і позначається ${\displaystyle \partial A.}$

Еквівалентні означення. Межа множини ${\displaystyle A}$ це —

• та частина замикання ${\displaystyle A}$, що не входить в її внутрішність: ${\displaystyle \partial x={\bar {A}}/A^{0}}$
• перетин замикання самої множини ${\displaystyle A}$ та замикання її доповнення ${\displaystyle X/A}$: ${\displaystyle \partial x={\bar {A}}\cap {\overline {X/A}}}$