Поліноми Чебишова

Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів ${\displaystyle \{T_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}$ і ${\displaystyle \{U_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}$, названі на честь Пафнутія Чебишова.

Ортогональні поліноми
Чебишова
Відкриті	Пафнутієм Чебишовим у 1854 році
Формула	${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}}$ ${\displaystyle U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
Диференціальне рівняння	${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!}$ i ${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!}$
Визначені на	${\displaystyle \ [-1,1]}$
Вага	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ для поліномів першого роду ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$ для поліномів другого роду
Норма	${\displaystyle {\begin{cases}\pi &:n=0\\\pi /2&:n\neq 0\end{cases}}}$ для поліномів першого роду ${\displaystyle \pi /2\;}$ для поліномів другого роду
Примітки	Нулі поліномів Чебишова першого роду є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Визначення

Поліном Чебишова першого роду визначається як

${\displaystyle T_{0}=1,\quad \quad T_{n}(x)=\cos(n\arccos x),}$

де ${\displaystyle n=1,2,3,...}$ Поліном Чебишова першого роду ${\displaystyle T_{n}(x)}$ є поліномом степеня ${\displaystyle n}$ зі старшим коефіцієнтом ${\displaystyle 2^{n-1}}$, що на відрізку ${\displaystyle [-1,1]}$ має найменше відхилення від нуля серед усіх таких поліномів. Вони утворюють ортогональний базис із ваговою функцією ${\displaystyle w(x)=1/(1-x^{2})^{1/2}}$ у інтервалі ${\displaystyle [-1,1]}$, оскільки підстановка ${\displaystyle \theta =\arccos x}$ приводить до рівняння

${\displaystyle \int _{-1}^{+1}T_{n}(x)T_{m}(x){\frac {dx}{(1-x^{2})^{1/2}}}=\int _{0}^{\pi }\cos n\theta \cos m\theta \,d\theta =0\quad \quad (m\neq n).}$

Поліноми Чебишова другого роду визначаються як

${\displaystyle U_{0}=1,\quad \quad U_{n}(x)=\sin(n\arccos x),}$

де ${\displaystyle n=1,2,3,...}$ Поліном Чебишова другого роду ${\displaystyle U_{n}(x)}$ є поліномом степеня ${\displaystyle n}$ зі старшим коефіцієнтом ${\displaystyle 2^{n}}$, інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку ${\displaystyle [-1,1]}$ набуває найменшого можливого значення.

Поліноми Чебишова можна записати у вигляді

${\displaystyle T_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}+(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}],}$

${\displaystyle U_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}-(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}].}$

Ці формули можна отримати, якщо вважати ${\displaystyle x=\cos \theta ,}$ представивши тригонометричні функції у експониненційній формі й застосовуючи теорему Муавра та замінюючи після цього ${\displaystyle \cos \theta }$ на ${\displaystyle x,}$ a ${\displaystyle \sin \theta }$ на ${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}.}$

Рекурентні співвідношення

Бінономіальний розклад рівнянь

${\displaystyle T_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}+(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}],}$

${\displaystyle U_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}-(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}]}$

приводить до рівнянь, які можна використати для обчислення декількох поліномів Чебишева. Ці рівняння мають наступний вигляд

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{r=0}^{n/2}(-1)^{r}{\frac {n!}{(2r)!(n-2r)!}}(1-x^{2})^{r}x^{n-2r},}$

${\displaystyle U_{n}(x)=\sum _{r=0}^{(n-1)/2}(-1)^{r}{\frac {n!}{(2r+1)!(n-2r-1)!}}(1-x^{2})^{r+1/2}x^{n-2r+1}.}$

Поліноми Чебишова першого роду ${\displaystyle T_{n}(x)}$ можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

${\displaystyle T_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1,}$

${\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x,}$

${\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1,}$

${\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x;}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,}$

Поліноми Чебишова другого роду ${\displaystyle U_{n}(x)}$ можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

${\displaystyle U_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle U_{1}(x)=2x,}$

${\displaystyle U_{2}(x)=(1-x^{2})^{1/2},}$

${\displaystyle U_{2}(x)=(1-x^{2})^{1/2}2x,}$

${\displaystyle U_{3}(x)=(1-x^{2})^{1/2}(4x^{2}-1),}$

${\displaystyle U_{4}(x)=(1-x^{2})^{1/2}(8x^{3}-4x),}$

${\displaystyle U_{5}(x)=(1-x^{2})^{1/2}(16x^{4}-12x^{2}+1).}$

${\displaystyle U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,}$

Генератриса поліномів першого роду має вигляд:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}$

Генератриса поліномів другого роду має вигляд:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}$

Явні формули

Поліноми Чебишова є розв'язками рівняння Пелля в кільці поліномів із дійсними коефіцієнтами:

${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1}$

Вони задовольняють рівність:

${\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x){\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}.}$

З останньої рівності також випливають формули:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k};}$

${\displaystyle U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}.}$

Тригонометричні співвідношення

Поліноми Чебишова першого роду ${\displaystyle T_{n}(x)}$ можуть бути визначені за допомогою рівняння

${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta ).\,}$

або,

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!}$

Поліноми Чебишова другого роду ${\displaystyle U_{n}(x)}$ можуть бути визначені за допомогою рівняння

${\displaystyle U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

Можна також виразити через гіперболічні функції

${\displaystyle T_{n}(x)=\mathrm {ch} (n\,\mathrm {Arch} \,x)}$

та

${\displaystyle U_{n}(x)=\mathrm {sh} (n\,\mathrm {Arch} \,x).}$

Із цих рівнянь випливають рівняння

${\displaystyle T_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}+(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}],}$

${\displaystyle U_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}-(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}]}$

якщо вважати ${\displaystyle x=\mathrm {ch} \,\varphi }$, представити гіперболічні функції у експониненційному вигляді, відзначивши, що ${\displaystyle \mathrm {ch} \,\varphi +\mathrm {sh} \,\varphi =e^{\varphi }}$ та ${\displaystyle \mathrm {ch} \,\varphi -\mathrm {sh} \,\varphi =e^{-\varphi }.}$ Після цього потрібно замінити ${\displaystyle \mathrm {ch} \,\varphi }$ на ${\displaystyle x,}$ a ${\displaystyle \mathrm {sh} \,\varphi }$ на ${\displaystyle (x^{2}-1)^{1/2}.}$

Диференціальні рівняння Чебишова

Поліноми Чебишова є розв'язками диференціальних рівнянь:

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!}$

і

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!}$

відповідно для поліномів першого і другого роду.

Приклади

Поліноми Чебишева першого роду на відрізку−1 < x < 1: T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ and T₅.

Перші поліноми Чебишова першого роду

${\displaystyle T_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,}$

${\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}$

${\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}$

${\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}$

${\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}$

${\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}$

${\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}$

${\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,}$

Перші поліноми Чебишова другого роду

Поліноми Чебишова другого роду на відрізку −1 < x < 1: U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ and U₅.

${\displaystyle U_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}$

${\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,}$

${\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,}$

${\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,}$

${\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,}$

${\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,}$

${\displaystyle U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\,}$

${\displaystyle U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\,}$

${\displaystyle U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x.\,}$

Властивості

Поліноми Чебишова мають такі властивості:

• Ортогональність відносно скалярного добутку (з вагою ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ для поліномів першого роду і ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$ для поліномів другого роду).

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m,\\\pi /2&:n=m.\end{cases}}}$

• Серед усіх поліномів, значення яких на відрізку ${\displaystyle [-1,1]}$ не перевищує за модулем 1, поліном Чебишова має:
  • найбільший старший коефіцієнт;
  • найбільше значення у довільній точці ${\displaystyle a\geq 1}$.
• Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Див. також

• Поліноми Фабера
• Список об'єктів, названих на честь Пафнутія Чебишова
• Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения [Архівовано 20 лютого 2014 у Wayback Machine.]