Модуль зсуву

Модуль зсуву (модуль пружності другого роду) — характеристика пружних властивостей ізотропних твердих тіл в умовах деформації зсуву, один із модулів пружності.

Деформація зсуву

Модуль зсуву здебільшого позначається грецькою літерою μ або латинською літерою G, й вимірюється в Па. Характерне значення модуля зсуву твердих тіл лежить в області гігапаскалів. Модуль зсуву часто називають модулем пружності другого роду.

Матеріал	Типове значення модуля зсуву (ГПа) (при кімнатній температурі)
Алмаз	478
Сталь	80,0
Мідь	63,4
Титан	41,4
Скло	26,2
Алюміній	25,5
Поліетилен	0,117
Гума	0,0006

Довільну деформацію ізотропного твердого тіла можа розбити на дві важливі складові — деформацію розтягу/стиску, яка зв'язана із зміною лінійних розмірів тіла, й деформацію зсуву, при якій змінюється форма тіла.

Фізичний зміст модуля зсуву визначається рівнянням:

${\displaystyle \mu ={\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}}$

де

${\displaystyle \tau _{xy}=F/A\,}$ — дотичне напруження;

${\displaystyle F}$ — зсувне зусилля;

${\displaystyle A}$ — площа зсуву під впливом зусилля F;

${\displaystyle \gamma _{xy}=\Delta x/l=tg\theta \,}$ — деформація зсуву;

${\displaystyle \Delta x}$ — зміщення;

${\displaystyle l}$ — початкова довжина.

При довільній деформації, яка описується тензором деформації ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$, вклад пружних сил у вільну енергію можна виразити у вигляді

${\displaystyle F=\mu \sum _{i,k}\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{ii}\delta _{ik}\right)^{2}+{\frac {K}{2}}\sum _{i}\varepsilon _{ii}^{2}}$,

де ${\displaystyle \delta _{ik}}$ — символ Кронекера;

K — модуль всебічного стиску.

Друга сума в даному виразі описує деформацію розтягу/стиску, перша сума — деформацію зсуву. Коефіцієнт, який стоїть перед нею називається модулем зсуву. Модуль зсуву завжди додатній.

Зв'язок із іншими модулями пружності

Модуль пружності збігається із другим коефіцієнтом Ламе.

${\displaystyle K=\lambda +{\frac {2}{3}}\mu }$,

де λ — перший із коефіцієнтів Ламе.

${\displaystyle \mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}}$,

де E — модуль Юнга, а ν — коефіцієнт Пуассона.

Джерела

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1987). Теоретическая физика. т. VII. Теория упругости. Москва: Наука.