Нормальна підгрупа

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.

Визначення

Підгрупа ${\displaystyle \ N}$ групи ${\displaystyle \ G}$ називається нормальною, якщо вона інваріантна відносно спряження, тобто:

${\displaystyle N\triangleleft G\quad \iff \quad \forall n\in N,g\in G:\;\;gng^{-1}\in N.}$

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

1. ${\displaystyle \forall g\in G:\;gNg^{-1}\subseteq N}$
2. ${\displaystyle \forall g\in G:\;gNg^{-1}=N}$
3. Множини лівих і правих суміжних класів ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle G}$ збігаються.
4. ${\displaystyle \forall g\in G:\;gN=Ng}$.

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади

• ${\displaystyle \ \{e\}}$ та ${\displaystyle G}$ — завжди нормальні підгрупи ${\displaystyle G}$. Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група ${\displaystyle G}$ називається простою.^[1]

• Центр групи — нормальна підгрупа.^[2]

• Комутант групи — нормальна підгрупа.^[3]

• Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її спряження завжди є автоморфізмом.

• Всі підгрупи ${\displaystyle N}$ абелевої групи ${\displaystyle G}$ нормальні, тому що ${\displaystyle gN=Ng}$.^[4] Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

Властивості

• Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів.
• Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.
• Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна.^[5] Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.

Наприклад, діедральна група ${\displaystyle D_{4}=\langle r,f|f^{2}=1,r^{4}=1,fr=r^{-1}f\rangle .}$

Підгрупа ${\displaystyle H=\langle rf,fr\rangle =\{1,rf,r^{2},fr\}\simeq C_{2}\times C_{2}}$ ізоморфна групі Клейна і ${\displaystyle H\triangleleft G.}$

І далі, ${\displaystyle K=\langle rf\rangle =\{1,rf\}\triangleleft H,}$ але ${\displaystyle K}$ не нормальна в ${\displaystyle G,}$ оскільки ${\displaystyle f\cdot rf\cdot f^{-1}=f\cdot rf\cdot f=fr\notin K.}$

• Кожна підгрупа індексу 2 є нормальною.^[6] Якщо ${\displaystyle p}$ — найменший простий дільник порядку ${\displaystyle G}$, то довільна підгрупа індекса ${\displaystyle p}$ нормальна.
• Якщо ${\displaystyle N}$ — нормальна підгрупа в ${\displaystyle G}$, то на множині лівих (правих) суміжних класів ${\displaystyle G/N}$ можна ввести групову структуру за правилом

${\displaystyle (g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N}$

Отримана множина називається фактор-групою ${\displaystyle G}$ за ${\displaystyle N}$.

• ${\displaystyle N}$ нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих суміжних класах ${\displaystyle G/N}$.
• Нормальні підгрупи групи G утворюють ґратку відносно операції включення з найменшим елементом {e} та найбільшим елементом G. Ґратка є повною та модулярною.

Історичні факти

Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

Див. також

• Норма (теорія груп)
• Квазінормальна підгрупа