Проєкційна матриця

Квадратна матриця ${\displaystyle \ P}$ з комплексними елементами називається проєкційною, якщо виконується ${\displaystyle \ P=P^{2}.}$

Якщо виконується ${\displaystyle \ P=P^{*}P,}$ то матриця ${\displaystyle \ P}$ називається ортогонально-проєкційною.

• Проєкційні матриці ${\displaystyle \ P_{1},P_{2}}$ називаються ортогональними, якщо ${\displaystyle \ P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0.}$

З точки зору абстрактної алгебри проєкційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.

Властивості

• Кожна ортогональна-проєкційна матриця є проєкційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:

${\displaystyle \ P=P^{*}P\quad \Rightarrow \quad P^{*}=(P^{*}P)^{*}=P\quad \Rightarrow \quad P=P^{2}.}$

• Якщо матриця ${\displaystyle \ P}$ є проєкційною, то матриці

${\displaystyle \ P^{n},\;(I-P)^{n},\;P^{*}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$    теж будуть проєкційними.

• Якщо матриця ${\displaystyle P\!}$ є ортогонально-проєкційною, то матриці

${\displaystyle \ P^{n},\;(I-P)^{n}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$    теж будуть ортогонально-проєкційними.

• Якщо матриця ${\displaystyle P\!}$ є ортогонально-проєкційною, то

${\displaystyle \ \forall x,y:\quad Px\perp (I-P)y.}$

• Власні значення проєкційних матриць можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її власних векторах.
• Ортогонально-проєкційні матриці є невід'ємноозначеними матрицями.

Ортогональні проєктори на підпростір

• Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію вектора. Якщо u є одиничним вектором, тоді проєктором на лінію вздовж вектора буде матриця

${\displaystyle \ P_{u}=uu^{\top }.}$

• Довільна прямокутна матриця ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ вводить дві ортогонально-проєкційні матриці:

${\displaystyle P(A)=A^{+}A\;\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ — проєктор в просторі ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ на підпростір векторів-рядків матриці${\displaystyle \ A,}$

${\displaystyle P(A^{*})=AA^{+}\;\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$ — проєктор в просторі ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ на підпростір векторів-стовпців матриці${\displaystyle \ A.}$

• Проєктори на ортогональне доповнення до даних підпросторів, позначаються:

${\displaystyle \ Z(A)=I_{n}-P(A),}$

${\displaystyle \ Z(A^{*})=I_{m}-P(A^{*}).}$

Для ${\displaystyle \ P(A^{*}),Z(A^{*})}$ ще використовують позначення ${\displaystyle P_{A}^{\parallel }}$ та ${\displaystyle P_{A}^{\perp }}$ відповідно.

${\displaystyle \ A^{+}}$ — псевдообернена матриця до матриці A.

Приклади

• Одинична матриця є проєктивною.
• ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\quad \Rightarrow \quad P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}.}$
• ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}\quad \Rightarrow \quad P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.}$

Застосування

• Застосовується при QR розкладі матриці в методах: Процес Грама — Шмідта, Перетворення Хаусхолдера.
• Застосовується при сингулярному розкладі матриці.

Див. також

• Теорія матриць
• Спектральна теорема
• Проєкції

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Чарін В.С. (2005). Лінійна алгебра (PDF). Київ: Техніка. с. 416.(укр.)