Перетворення Хаусхолдера

Запит «Матриця Хаусхолдера» перенаправляє сюди; див. також інші значення.

Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення ${\displaystyle \ H_{u}}$ векторного простору ${\displaystyle \ V}$, що описує його віддзеркалення (симетрію) щодо гіперплощини, яка проходить через початок координат.

Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.

Застосовується в лінійній алгебрі для QR-розкладу матриці.

Визначення

Якщо гіперплощина описується одиничним вектором ${\displaystyle \ u}$, що є ортогональним до неї; та ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — скалярний добуток в ${\displaystyle \ V}$, тоді

${\displaystyle \ H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u}$ — оператор Хаусхолдера.

Матриця Хаусхолдера має вигляд:

${\displaystyle \ H=I-2uu^{*}.}$

Властивості

• Матриця Хаусхолдера є ермітовою: ${\displaystyle \ H=H^{*}.}$
• Матриця Хаусхолдера є унітарною: ${\displaystyle \ H^{*}H=I.}$
• Отже вона є інволюцією: ${\displaystyle \ H^{2}=I.}$.
• Перетворення ${\displaystyle \ H_{u}(x)}$ відображає точку ${\displaystyle \ x}$ в точку ${\displaystyle \ x-2\langle u,x\rangle u.}$
• Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору ${\displaystyle \ u}$, усі інші власні значення дорівнюють (+1).
• Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1.
• Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстані^{[джерело?]}.

Див. також

• Матриця повороту
• Ортогональна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Ланкастер П.(інші мови). Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Р.Хорн(інші мови), Ч.Джонсон(інші мови). Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947