Квантиль

Квантиль — одна з числових характеристик випадкових величин, що застосовується в математичній статистиці^[1]. Квантилі відсікають в межах ряду певну частину його членів. Тобто, квантиль (термін використаний вперше Кендалом в 1940 р.) розподілення значень — це таке число x_p, що значення p-ї частини сукупності менше або рівне x_p. Наприклад, квантиль 0.25 (також називається 25-м процентилем або нижнім квартилем) змінної — це таке значення (x_p), що 25 % (p) значень змінної потрапляють нижче даного значення^[2].

Квантиль
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Ідентифікатор NCI Thesaurus	C48920
Квантиль у Вікісховищі

Визначення

Нехай маємо ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, і ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ — ймовірнісна міра, що задає розподіл деякої випадкової величини ${\displaystyle X}$. Нехай зафіксовано ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$. Тоді ${\displaystyle \alpha }$-квантилем (або квантилем рівня ${\displaystyle \alpha }$) розподілу ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ називається число ${\displaystyle x_{\alpha }\in \mathbb {R} }$, таке що

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x_{\alpha }])\equiv \mathbb {P} (X\leq x_{\alpha })=\alpha }$.

Зауваження

• Якщо розподіл неперервний, то ${\displaystyle \alpha }$-квантиль однозначно задається рівнянням

${\displaystyle F_{X}(x_{\alpha })=\alpha }$,

де ${\displaystyle F_{X}}$ — функція розподілу ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ .

• Очевидно що для неперервних розподілів справедлива рівність

${\displaystyle \mathbb {P} \left(x_{\frac {1-\alpha }{2}}\leq X\leq x_{\frac {1+\alpha }{2}}\right)=\alpha }$,

що широко використовується при побудові довірчих інтервалів

Види квантилів

Медіани і квартилі

Квартилі нормального розподілу

• ${\displaystyle 0.25}$-квантиль називається першим (або нижнім) квартилем;
• ${\displaystyle 0.5}$-квантиль називається медіаною, або другим квартилем;
• ${\displaystyle 0.75}$-квантиль називається третім (або верхнім) квартилем.

Інтерквартильним або міжквартильним розмахом (англ. Interquartile range) називається різниця між третім і першим квартилем, тобто ${\displaystyle x_{0.75}-x_{0.25}}$. Інтерквартильний розмах є характеристикою розкиду розподілу величини. Разом медіана і інтерквартильний розмах можуть бути використані замість математичного сподівання і дисперсії у разі розподілів з великими викидами, або при неможливості обчислення останніх.

Дециль

Дециль характеризує розподіл величин сукупності, при якій дев'ять значень дециля ділять її на десять рівних частин. Будь-яка з цих десяти частин становить 1/10 всієї сукупності. Так, перший дециль відокремлює 10 % найменших величин, лежачих нижче дециля від 90 % найбільших величин, лежачих вище дециля.

Перцентиль

${\displaystyle p}$-им перцентилем називають квантиль рівня ${\displaystyle \alpha =p/100}$. При цьому зазвичай розглядають перцентилі для цілих ${\displaystyle p}$, хоча дана вимога не обов'язкова. Відповідно, медіана є 50-м перцентилем, а перший і третій квартиль — 25-м і 75-м перцентилем. У цілому, поняття квантиль і перцентиль взаємозамінні, також, як і шкали числення імовірності — абсолютна і відсоткова. Перцентилі також називаються процентилями або центилями.^{[джерело?]}

Квантилі стандартного нормального розподілу

Імовірність, %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль	3,715	3,090	2,326	2,000	1,960	1,645	1,282	1,000	0,000

Див. також

• Квантилі розподілу Стьюдента
• Квантилі розподілу хі-квадрат
• Графік Q-Q
• Квартиль наукового журналу

Посилання

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Ресурс https://www.scopus.com/sources.uri [Архівовано 15 Травня 2021 у Wayback Machine.] дозволяє встановити квантиль журналів у Скопус.