Медіана (статистика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Медіана (значення).

Медіа́на (англ. median) — в статистиці це величина ознаки, що розташована посередині ранжованого ряду вибірки^[1], тобто — це величина, що розташована в середині ряду величин, розташованих у зростальному або спадному порядку^[2]; в теорії ймовірності — характеристика розподілення випадкової величини.

Медіана ділить ряд значень ознаки на дві рівні частини, по обидві частини від неї розміщується однакова кількість одиниць сукупності.^[1] Медіана є квантилем порядку 1/2. Позначається як ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ або ${\displaystyle x_{1/2}}$.

Визначення

Медіаною функції розподілу ${\displaystyle F}$ називається таке число ${\displaystyle {\tilde {x}}}$, що:^[3]

${\displaystyle F({\tilde {x}})=1/2}$,

або:^[4]

${\displaystyle P(X<{\tilde {x}})=P(X>{\tilde {x}})=1/2}$,

тобто, ймовірність того, що випадкова величина матиме значення більше або менше за медіану однакова і дорівнює 1/2.

Якщо функція розподілу строго монотонна, то медіана визначається однозначно, в протилежному випадку, розв'язком рівняння ${\displaystyle {\tilde {x}}=F^{-1}(x)}$ є відрізок ${\displaystyle [{\underline {x}},{\overline {x}}]}$. З точки зору теорії ймовірностей, значення з цього відрізку можна не розглядати. Таким чином, неоднозначність цього рівняння неістотна. Аби уникнути пов'язаних з цієї неоднозначностей проблем, медіаною можна вважати найменший корінь рівняння: ${\displaystyle {\tilde {x}}={\underline {x}}}$.^[3]

З геометричної точки зору, вертикальна пряма ${\displaystyle x={\tilde {x}}}$, що проходить через точку з абсцисою ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ділить площу фігури під кривою функції розподілу на дві рівні частини.^[4]

Скінченна множина чисел

Медіану скінченної множини чисел можна знайти впорядкувавши їх в порядку зростання, від найменшого числа до найбільшого.

Якщо кількість чисел непарна, обирається те що знаходиться по середині. Наприклад, нехай існує такий набір чисел

1, 3, 3, 6, 7, 8, 9

Цей список містить сім чисел. Медіаною є четверте із них, що є числом 6.

Якщо кількість спостережень парна, тоді не існує єдиного значення по середині; тоді медіану зазвичай визначають як середнє значення між двома числами по середині.^[5][6] Наприклад, для наступного набору

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9

медіана є середнім значенням для двох чисел по середині: вона дорівнюватиме (4 + 5)/2, тобто 4.5 або ${\displaystyle 4{\frac {1}{2}}}$.

Для знаходження позиції середнього числа в вибірці із n послідовно впорядкованих чисел використовується формула (n + 1) ÷ 2. Ця формула повертає або позицію середнього числа (для непарної кількості значень) або знаходиться по середині між двома точками. Наприклад, при кількості в 14 значень, формула поверне 7.5, тоді медіану необхідно розраховувати як середнє значення між сьомим і восьмим значенням. Таким чином медіану можна представити наступною формулою:

${\displaystyle \mathrm {median} (a)={\frac {a_{\lfloor \#x\div 2\rfloor }+a_{\lfloor \#x\div 2+0.5\rfloor }}{2}}}$

Порівняння різних загальних середніх значень на прикладі вибірки вибірки { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }

Тип	Опис	Приклад	Результат
Середнє арифметичне	Сума всіх значень вибірки, поділена на їхню кількість: ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$	(1+2+2+3+4+7+9) / 7	4
Медіана	Середнє значення, що відокремлює більшу половину і меншу половину вибірки	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	3
Мода	Значення, що зустрічається у вибірці найчастіше	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	2

Найчастіше медіану застосовують для скошених (не симетричних) розподілів, де вона дозволяє підсумувати різницю від арифметичного середнього. Розглянемо мультимножину { 1, 2, 2, 2, 3, 14 }. В даному випадку медіана дорівнює 2, (так само як і мода), і її можна розглядати як більш придатний індикатор центральної тенденції (що менш чутливий до зміщення при наявності виключно великого значення серед даних), ніж арифметичне середнє, що дорівнює 4.

Медіана — дуже популярна міра підсумкової статистики, оскільки її просто зрозуміти і легко розрахувати, а також вона більш стійка до можливих наявних викидів у вибірці, порівняно із середнім значенням. Часто зустрічається твердження про емпіричний зв'язок між відносним знаходженням середнього значення і медіани для скошених розподілів, що насправді не є істинним у загальному випадку.^[7] Однак, існує багато залежностей між абсолютною різницею між ними.

Історія

Поняття медіани походить з книги Едварда Райта про навігацію («Помилки в навігації» 1599 року), в розділі з приводу визначення розташування за допомогою компаса. Він зрозумів, що імовірніше всього, це значення може бути правильним в серіях спостережень.

У 1757 році Роджер Джосеф Бошкович розвивав регресивний метод, заснований на нормі L1 і на медіані^[8]. У 1774 році Лаплас запропонував використати медіану як стандартний оцінювач значення пізнішого pdf. Специфічні критерії мали мінімізувати очікувану величину помилки; ${\displaystyle |\alpha -\alpha ^{*}|}$ , де α* — оцінка, і α — справжня цінність.

Критерій Лапласа був загалом знехтуваний протягом 150 років на користь найменшого методу квадратів Гауса і Легенгре, який мінімізує значення ${\displaystyle (\alpha -\alpha ^{*})^{2}}$, щоб отримати середину^[9]. Поширення як типового означення, так і типової медіани були визначені Лапласом на початку 1800 року^[10]. Антуан Августин Курно в 1843 році був першим, хто використав термін «медіана», як значення, яке ділить розподіл імовірності на дві рівні частини.

Густав Теодор Фішнер використовував медіану (Centralwerth) в соціологічних і психологічних явищах^[11].

Густав Фішнер популяризував медіану у формальному аналізі даних, хоча це вперше зробив Лаплас^[11]. Франциск Гальтон вжив англійський термін «медіана» в 1881 році,^[12] раніше використовуючи «середина найбільшого значення» (1869 рік) і як «середина» в 1880 році.

Медіана варіаційного ряду

Медіаною називають варіанту, що ділить варіаційний ряд на дві частини з рівною кількістю варіант. Якщо кількість варіант непарна (${\displaystyle n=2k+1}$), то ${\displaystyle {\tilde {x}}=x_{k+1}}$, у випадку парної кількості варіант (${\displaystyle n=2k}$), медіана дорівнює:^[13]

${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {(x_{k}+x_{k+1})}{2}}}$.

Наприклад, для ряду 2 3 5 6 7 медіана дорівнює 5; для ряду 2 3 5 6 7 9 медіана дорівнює (5 + 6)/2 = 5.5.

Розподіл імовірностей

Геометрична візуалізація моди, медіани і середнього значення довільної функції густини імовірностей.^[14]

Для будь-якого розподілу імовірностей в множині дійсних чисел R із кумулятивною функцією розподілу F, не залежно від того чи є це будь-яким з неперервних розподілів імовірності, зокрема абсолютно неперервний розподіл (що має функцію густини імовірності), або дискретний розподіл імовірностей, медіаною за визначенням є будь-яке дійсне число m яке задовольняє наступним нерівностям:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ і }}\operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,\!}$

або, еквівалентні нерівності

${\displaystyle \int _{(-\infty ,m]}dF(x)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ і }}\int _{[m,\infty )}dF(x)\geq {\frac {1}{2}}\,\!}$

в яких використовується інтеграл Лебега-Стілтьєса. Для будь-якого абсолютно неперервного розподілу імовірностей із функцією густини імовірностей ƒ, медіана задовольняє умовам:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)=\operatorname {P} (X\geq m)=\int _{-\infty }^{m}f(x)\,dx={\frac {1}{2}}.\,\!}$

Будь-який розподіл імовірностей в множині R має принаймні одну медіану, але в окремих випадках може існувати більше ніж одна медіана. Зокрема, якщо розподіл імовірностей дорівнює нулю в інтервалі [a, b], а кумулятивна функція розподілу в точці a приймає значення 1/2, будь-яке значення між a і b також буде медіаною.

Медіани окремих розподілів

Медіани певних типів розподілів можна легко розрахувати за допомогою їх параметрів; крім того, цей розрахунок існує навіть для деяких розподілів, яким бракує можливості добре визначити середнє, наприклад для розподілу Коші:

• Медіана симетричного унімодального розподілу збігається із модою.
• Медіана симетричного розподілу^[en], який має середнє значення μ також приймає значення μ.
  • Медіана нормального розподілу із середнім μ і дисперсією σ² дорівнює μ. Насправді для нормального розподілу дійсним є те, що середнє = медіані = моді.
  • Медіана рівномірного розподілу у інтервалі [a, b] дорівнює (a + b) / 2, що також є середнім значенням.
• Медіана розподілу Коші із параметром локації x₀ і параметром масштабу y дорівнює x₀, параметру локації.
• Медіана експоненційного розподілу із коефіцієнтом норми λ дорівнює натуральному логарифму по 2 розділеному на коефіцієнт норми: λ⁻¹ln 2.
• Медіана розподілу Вейбула із параметром форми k і параметром масштабу λ дорівнює λ(ln 2)^1/k.

Сукупності

Властивість оптимальності

Середня абсолютна похибка дійсної змінної c відносно випадкової величини X визначається як:

${\displaystyle E(\left|X-c\right|)\,}$

За умови, що розподіл імовірностей величини X є таким, що вищенаведене сподівання існує, тоді m є медіаною величини X тоді і тільки тоді, коли m мінімізує середню абсолютну похибку відносно X.^[15] Зокрема, m є вибірковою медіаною, тоді і лише тоді, коли m мінімізує арифметичне середнє абсолютне відхилення.

У більш загальному випадку, медіана визначається як мінімум наступного виразу

${\displaystyle E(|X-c|-|X|),}$

Це визначення медіани на основі оптимізації є корисним у статистичному аналізі даних, наприклад, у кластеризації k-медіан.

Одномодальні розподіли

Порівняння середнього, медіані і моди двох Логнормальних розподілів із різним коефіцієнтом асиметрії.

Для випадку із одномодальним розподілом можна показати що медіана ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ і середнє ${\displaystyle {\bar {X}}}$ знаходяться не далі ніж на величину (3/5)^1/2 ≈ 0.7746 стандартних відхилень одне від одного.^[16] У символьній формі це виглядає так:

${\displaystyle {\frac {\left|{\tilde {X}}-{\bar {X}}\right|}{\sigma }}\leq \left({\frac {3}{5}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

де |·| це абсолютне значення.

Аналогічне відношення існує для медіани і моди: вони знаходяться в межах 3^1/2 ≈ 1.732 стандартних відхилень одна від одної:

${\displaystyle {\frac {|{\tilde {X}}-\mathrm {mode} |}{\sigma }}\leq 3^{\frac {1}{2}}.}$

Нерівність, що пов'язує середнє значення і медіану

Якщо розподіл має скінченну дисперсію, тоді відстань між медіаною і середнім обмежена величиною одного стандартного відхилення.

Ця межа була доведена,^[17] за допомогою подвійного використання нерівності Єнсена, як наведено далі. Маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mu -m|=|\operatorname {E} (X-m)|&\leq \operatorname {E} (|X-m|)\\&\leq \operatorname {E} (|X-\mu |)\\&\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)}}=\sigma .\end{aligned}}}$

Перша і третя нерівність були отримані з нерівності Єнсена, що застосована до функції із абсолютним значенням і квадратичної функції, кожна з яких є опуклою. Друга нерівність отримана з факту, що медіана мінімізує функцію абсолютного відхилення

${\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (|X-a|).\,}$

Також доведення можна отримати із нерівності Кантеллі^[en].^[18] Цей результат можна узагальнити аби отримати мультиваріативний варіант нерівності,^[19] наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\mu -m\|=\|\operatorname {E} (X-m)\|&\leq \operatorname {E} \|X-m\|\\&\leq \operatorname {E} (\|X-\mu \|)\\&\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left(\|X-\mu \|^{2}\right)}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(\operatorname {var} (X)\right)}}\end{aligned}}}$

де m є просторовою медіаною, яка мінімізує функцію ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (\|X-a\|).\,}$ Просторова медіана є унікальною коли два або більшу кількість вимірів вибірки.^[20][21] В аналогічному доведенні використовують односторонню нерівність Чебишова; вона з'являється у нерівності параметрів розташування і масштабу розподілу.

Медіана як об'єктивний оцінювач

Гаус зауважив, що будь-який об'єктивний оцінювач мінімізує ризик (очікувану втрату) відносно функції помилкової втрати. На думку Лапласа, медіана, як об'єктивний оцінювач мінімізує ризик відносно функції втрати абсолютного відхилення. Інші функції втрати застосовують в статистичній теорії, особливо при перевірці статистичної надійності. Теорію об'єктивного оцінювача, започаткував Джордж Браун в 1947 році^[22].

Оцінка одного розмірного параметра θ, буде об'єктивним оцінювачем для медіани, якщо, для сталої θ, медіана поширення оцінки знаходиться в значенні θ , тобто, відхилення трапляються не так часто.

Подальші властивості медіани, як об'єктивного оцінювача були досліджені^{[23][24][25][26]}. Зокрема, медіана, як об'єктивний оцінювач існує у випадках, де неможливо максимуму імовірності. Медіани, як об'єктивні оцінювачі інваріантні під один-до-одного, перетвореннями.