Проблема моментів

Проблема моментів — обернена задача в математиці, до задачі обчислення моментів множини із заданою мірою.

Тобто, якщо задані усі моменти

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\quad (n=1,2,\dotsc ),}$

то потрібно знайти (якщо існує) і довести єдиність функції ${\displaystyle \mu (x)\,.}$

Умова

У класичному випадку, ${\displaystyle \mu }$ — це міра на дійсній прямій, а ${\displaystyle M}$ — послідовність ${\displaystyle \{x^{n}:n=1,2,\dotsc \}}$. У цій формі питання виникає в теорії ймовірностей, де розглядається, чи існує ймовірнісна міра із заданими математичним сподіванням, дисперсією тощо, і чи є вона єдиною.

Існує три класичні задачі моментів з назвами:

• задача моментів Гамбургера, в якій носій міри ${\displaystyle \mu }$ може охоплювати всю дійсну пряму;
• задача моментів Стілтьєса — для ${\displaystyle [0,\infty )}$; та
• задача моментів Гаусдорфа — для обмеженого інтервалу, який без втрати загальності можна взяти як ${\displaystyle [0,1]}$.

Задачу моментів також узагальнено на комплексний аналіз як тригонометричну задачу моментів, у якій матриці Ганкеля замінено на матриці Тепліца, а носієм міри μ є одиничне коло у комплексній площині замість дійсної прямої.

Існування

Послідовність чисел ${\displaystyle m_{n}}$ є послідовністю моментів міри ${\displaystyle \mu }$ тоді й лише тоді коли Ганкелева матриця утворена з них ${\displaystyle H_{n}}$:

${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,}$

є невід'ємноозначеною матрицею.

Єдиність

Застосування

Джерела

• Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — 663 с.(укр.)
• Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова и их дальнейшее развитие/ М. Г. Крейн, А. А. Нудельман. — М,: Наука,  1973. —  551 с.