Простір Шварца

Простір Шварца — простір функцій, всі похідні яких швидко спадають до нуля з ростом аргумента. Названий Александром Гротендіком в честь Лорана Шварца^[1]. Функції з цього простору часто називають функціями Шварца. Позначається найчастіше буквою ${\displaystyle S}$ або ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Формально кажучи, складається з таких гладких функцій ${\displaystyle f(x)}$, що ${\displaystyle x^{m}\partial ^{k}f(x)\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle |x|\rightarrow \infty }$ швидше, ніж ${\displaystyle {\frac {1}{|x|^{\alpha }}}}$ при довільному додатному ${\displaystyle \alpha }$.

Важливою властивістю простору Шварца є те, що перетворення Фур'є є автоморфізмом цього простору. Будь-яку функцію з цього простору перетворення Фур'є переводить у деяку функцію з цього ж простору, і навпаки — кожна з функцій з простору Шварца є прообразом Фур'є деякої функції з цього простору.

Даний простір використовується, наприклад, як простір основних функцій при означенні перетворення Фур'є узагальнених функцій (узагальнені функції над ${\displaystyle S}$ часто називають узагальненими функціями повільного зростання) і відіграє досить важливу роль у функціональному аналізі та теорії рівнянь з частинними похідними.

Означення

Нехай ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ — простір нескінченно-диференційовних функцій ${\displaystyle f(x):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$, а

${\displaystyle C_{D}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм (тут ${\displaystyle D}$ — деяка компактна множина в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).

Для довільних мультиіндексів ${\displaystyle m,k}$ визначимо систему норм ${\displaystyle \|\cdot \|_{m,k}}$ наступним чином:

${\displaystyle \|f\|_{m,k}=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|,\quad f(x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Простором Шварца або простором швидкоспадних функцій на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ є такий функціональний простір:

${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})\mid \|f\|_{m,k}<+\infty \quad \forall m,k\right\}.}$

З означення простору випливає, що виконуються нерівності

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|\leqslant C_{mk},}$

де ${\displaystyle C_{mk}}$ — деякі подвійна послідовність додатних дійсних чисел, причому на поведінку цієї послідовності не накладається ніяких обмежень.

Збіжність в просторі ${\displaystyle S}$ визначається наступним чином: послідовність функцій ${\displaystyle \{\varphi _{s}(x)\}_{s=1}^{\infty }}$ збігається до функції ${\displaystyle \varphi (x)}$, якщо

а) для довільного ${\displaystyle q=0,1,2,\ldots }$ послідовність похідних ${\displaystyle \{\varphi _{s}^{(q)}(x)\}}$ збігається рівномірно до ${\displaystyle \varphi ^{(q)}(x)}$ в довільній обмеженій області;

б) для довільних ${\displaystyle m,k}$ виконуються оцінки

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}\varphi _{s}(x)\right|\leqslant C_{mk},}$ де сталі ${\displaystyle C_{mk}}$ не залежать від ${\displaystyle s}$.

Приклади

Двовимірна функція Гауса є прикладом швидкоспадної функції

• функція типу функції Гауса

${\displaystyle f(x)=x^{a}\displaystyle e^{-(bx)^{2}},\quad a,b\in \mathbb {R}$ ;}

• як узагальнення попереднього прикладу — всі функції виду

${\displaystyle f(x)=P(x)\displaystyle e^{-bx^{\alpha }},\quad b,\alpha >0,}$

де ${\displaystyle P(x)}$ — довільний многочлен;

• довільна гладка функція з компактним носієм, тобто функція з ${\displaystyle C_{D}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Властивості

• за означенням функції з простіру ${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ є підмножиною функцій із ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\,S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\subset C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$;

• функції з ${\displaystyle C_{D}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ утворюють щільну множину в ${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$;

• лінійна комбінація, поточковий добуток довільних двох функцій із ${\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})}$ та зсув по аргументу не виводять за межі простору ${\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle f,g\in S(\mathbb {R} ^{n}),\,\,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\,\,\forall h\in \mathbb {R} ^{n}:\quad \alpha f(x)+\beta g(x),\,\,f(x)\cdot g(x),\,\,f(x+h)\in S(\mathbb {R} ^{n});}$

• простір Шварца є простором Фреше — повним метризовним локально випуклим простором

• ${\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})\subset }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ для довільного ${\displaystyle p,\,1\leqslant p\leqslant +\infty }$;

• перетворення Фур'є є автоморфізмом ${\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow S(\mathbb {R} ^{n});}$

• довільна функція із ${\displaystyle S(\mathbb {R} )}$ є рівномірно неперервною на ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Простори типу S

З означення простору Шварца випливає, що виконуються нерівності

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|\leqslant C_{mk}.}$

Якщо числа ${\displaystyle C_{mk}}$ спеціальним чином залежать від мультиіндексів ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle k,}$ то виділяють такі простори типу простору Шварца:

• Простір ${\displaystyle S_{\alpha },\alpha \geqslant 0,}$ складається з таких нескінченно диференційовних функцій ${\displaystyle f(x)}$, для яких виконуються нерівності

${\displaystyle \|f\|_{m,k}=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|\leqslant C_{k}B^{m}m^{m\beta },\quad f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

де сталі ${\displaystyle C_{k},A}$ залежать від функції ${\displaystyle f}$.

• Простір ${\displaystyle S^{\beta },\beta \geqslant 0,}$ складається з таких нескінченно диференційовних функцій ${\displaystyle f(x)}$, які задовольняють нерівності

${\displaystyle \|f\|_{m,k}\leqslant C_{m}A^{k}k^{k\alpha },}$

де сталі ${\displaystyle C_{m},B}$ залежать від функції ${\displaystyle f}$.

• Простір ${\displaystyle S_{\alpha }^{\beta },\alpha ,\beta \geqslant 0,}$

складається з таких нескінченно диференційовних функцій ${\displaystyle f(x)}$, які задовольняють нерівності

${\displaystyle \|f\|_{m,k}\leqslant CA^{k}B^{m}k^{k\alpha }m^{m\beta },}$

де сталі ${\displaystyle C,A,B}$ залежать від функції ${\displaystyle f}$.

Простори ${\displaystyle S_{\alpha },S^{\beta },S}$ можна вважати граничними випадками простору ${\displaystyle S_{\alpha }^{\beta }}$, а саме

${\displaystyle S_{\alpha }=S_{\alpha }^{\infty },\quad S^{\beta }=S_{\infty }^{\beta },\quad S=S_{\infty }^{\infty }.}$