Раціональна нормальна крива

Раціона́льна норма́льна крива́ — гладка раціональна крива степеня^[en] n в n-вимірному проєктивному просторі ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}.}$ Вона є одним із порівняно простих проєктивних многовидів, більш формально, вона є образом вкладення Веронезе, застосованого до проєктивної прямої.

Визначення

Раціональну нормальну криву можна задати параметрично як образ відображення

${\displaystyle \nu$ :\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{n}}

яке переводить точку з однорідними координатами ${\displaystyle [s:t]}$ в точку

${\displaystyle [s^{n}:s^{n-1}t:s^{n-2}t^{2}:\ldots :t^{n}].}$

У афінній карті ${\displaystyle x_{0}=1}$ це відображення записується простіше:

${\displaystyle \nu :x\mapsto (x,x^{2},\ldots ,x^{n}).}$

Легко бачити, що раціональна нормальна крива отримується замиканням афінної кривої ${\displaystyle (x,x^{2},\dots ,x^{n})}$ за допомогою єдиної нескінченно віддаленої точки.

Еквівалентно, раціональну нормальну криву можна задати як множину спільних нулів однорідних многочленів

${\displaystyle F_{i,j}(x_{0},\ldots ,x_{n})=x_{i}x_{j}-x_{i+1}x_{j-1},}$

де ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ — однорідні координати на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. Розглядати всі ці многочлени не обов'язково, для задання кривої досить вибрати, наприклад, ${\displaystyle F_{i,i}}$ і ${\displaystyle F_{1,n-1}.}$

Альтернативна параметризація

Нехай ${\displaystyle [a_{i}:b_{i}]}$ — ${\displaystyle n+1}$ різних точок на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$ Тоді многочлен

${\displaystyle G(s,t)=\Pi _{i=0}^{n}(a_{i}s-b_{i}t)}$

є однорідним многочленом степеня ${\displaystyle n+1}$ з різними коренями. Многочлени

${\displaystyle H_{i}(s,t)={\frac {G(s,t)}{(a_{i}s-b_{i}t)}}}$

утворюють базис простору однорідних многочленів степеня n. Відображення

${\displaystyle [s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]}$

також задає раціональну нормальну криву. Дійсно, мономи ${\displaystyle s^{n},s^{n-1}t,s^{n-2}t^{2},\ldots ,t^{n}}$ є лише одним з можливих базисів у просторі однорідних многочленів, і його можна перевести лінійним перетворенням у будь-який інший базис.

Це відображення переводить нулі многочлена ${\displaystyle G(s,t)}$ в «координатні точки», тобто точки, всі однорідні координати яких, крім однієї, дорівнюють нулю. І навпаки, раціональну нормальну криву, що проходить через ці точки, можна задати параметрично за допомогою деякого многочлена ${\displaystyle G.}$

Властивості

• Будь-які ${\displaystyle n+1}$ точка на раціональній нормальній кривій у ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ лінійно незалежні. Навпаки, будь-яка крива з такою властивістю є раціональною нормальною.
• Для будь-яких ${\displaystyle n+3}$ точок ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n},}$ таких, що будь-які ${\displaystyle n+1}$ з них лінійно незалежні, існує єдина раціональна нормальна крива, що проходить через ці точки. Для побудови такої кривої досить перевести ${\displaystyle n+1}$ з точок у «координатні», а потім, якщо решта точок перейшли в ${\displaystyle [c_{0}:c_{1}:\ldots :c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots :d_{n}],}$ як многочлен ${\displaystyle G}$ вибрати многочлен, що занулююється в точках ${\displaystyle [a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{-1}:d_{i}^{-1}].}$
• Раціональна нормальна крива в разі ${\displaystyle n>2}$ не є повним перетином, тобто її неможливо задати числом рівнянь, рівним її корозмірності.^[1]