Розклад Шура

Розклад Шура — представлення квадратної матриці ${\displaystyle \ A}$ з комплексними коефіцієнтами у вигляді

${\displaystyle \ A=URU^{*},}$

де U — унітарна матриця, R — верхня трикутна матриця.

Властивості

• Очевидно, що матриця ${\displaystyle \ R}$ подібна до матриці ${\displaystyle \ A}$, отже в них всі власні значення збігаються, а оскільки ${\displaystyle \ R}$ — трикутна, то вони знаходяться в неї на головній діагоналі.

• Матриця ${\displaystyle \ A}$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриця ${\displaystyle \ R}$ в розкладі Шура буде діагональною. Отже для нормальних матриць спектральний розклад та розклад Шура збігаються.

• Якщо квадратні матриці ${\displaystyle \ A,B}$ є переставними, то їх можна привести до трикутного вигляду одною унітарною матрицею:

${\displaystyle \exists \;U,R_{1},R_{2}:\quad A=UR_{1}U^{*},\quad B=UR_{2}U^{*}.}$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць.

• Наслідком з попередньої властивості є одночасна діагоналізація переставних нормальних матриць (див. Переставні матриці).

Узагальнений розклад Шура

Квадратні матриці ${\displaystyle \ A,B}$ можуть бути представлені у вигляді:

${\displaystyle \ A=QR_{1}Z^{*},\quad B=QR_{2}Z^{*}}$

де

${\displaystyle \ Q,Z}$ — унітарні матриці,

${\displaystyle \ R_{1},R_{2}}$ — верхні трикутні матриці.

Ще відомий під назвою QZ-розклад. Узагальнює сингулярний розклад матриці.

Дивись також

• Теорія матриць
• Розклад матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)