Рівномірно темперований стрій

Рівномірно темперо́ваний стрій — музичний стрій, при якому кожна октава ділиться на певну кількість однакових ступенів. В сучасній європейській практиці октава поділяється на дванадцять рівних ступенів, що віддалені один від одного на відстань хроматичного півтону. Цей стрій прийшов на зміну більш раннім системам настроювання, заснованим на акустично чистих інтервалах, що зустрічаються в натуральному звукоряді, утвореному основним тоном та гармонічними обертонами. Спочатку рівномірно темперований стрій використовувався лише для клавішних інструментів, бо дозволяв грати в усіх тональностях без викривлень звучання, але згодом поширився і на інші інструменти та став основним в європейській музиці з XIX століття^[1].

Історія

Пошуки вдалого способу настроювання музичних інструментів йшли одночасно з розвитком музичної теорії. Остання була заснована на двох ключових поняттях — енгармонізмі (тобто еквівалентності звучання таких пар нот, як фа-дієз та соль-бемоль) та системі мажорних та мінорних тональностей. Одним з перших набір інтервалів однакового розміру для настроювання лютні запропонував 1581 року Вінченцо Галілей, музичний теоретик з Флоренції, батько Галілео Галілея. Серед інших, про таку систему писали китайський музикознавець Чжу Цзайюй у 1596 році та французський математик Марен Мерсенн у 1636 році. На початку XVIII століття ідея поширилася серед німецьких музикознавців, серед яких був Андреас Веркмейстер. Рівномірна темперація поступово застосовувалась на практиці при настроюванні клавішних інструментів, зокрема органів та клавесинів. Наприкінці XVIII ст. вона дістала визнання у Франції та Німеччині, а на початку XIX ст. — в Англії^[1].

12-ступеневий рівномірно темперований стрій виник в процесі пошуків музичними теоретиками ідеального строю. Історично попередній натуральний стрій мав низку вад, які зникли з уведенням рівномірної темперації, зокрема кома та Вовча квінта. У нового строю було багато противників. Новий стрій порушував сувору пропорцію інтервалів і, як наслідок, в акордах почали з'являтися невеликі биття. На думку багатьох теоретиків, це було замахом на чистоту музики. Андреас Веркмейстер стверджував, що в новому строї всі тональності ставали одноманітними та симетричними, в той час, як в старих строях завдяки нерівномірності темперації кожна тональність мала своє неповторне звучання. Як один з аргументів дискусії цікавий «Добре темперований клавір» Й. С. Баха — збірник прелюдій та фуг у всіх можливих тональностях. З часом рівномірна темперація завоювала визнання і стала фактичним стандартом.

Побудова строю

Розділення октави на рівні частини

Висота звуку вимірюється кількістю звукових коливань за секунду. Так, наприклад, звук ля першої октави має частоту коливань 440 Гц, і з підвищенням частоти висота звуку зростає, а з пониженням — спадає. Звуковисотна шкала є логарифмічною, тобто аби висота звуку збільшилась на октаву, частота має зрости вдвічі, а аби висота зменшилася на октаву — частота має стати у два рази меншою. Звук на октаву вище ля першої октави матиме частоту 880 Гц (440 × 2), а на октаву нижче - 220 Гц (440 : 2). Таким чином, аби побудувати рівномірно темперований 12-тоновий стрій, необхідно розділити октаву на дванадцять "рівних" інтервалів^[1].

Через логарифмічний характер звуковисотної шкали, відстань між двома звуками (тобто розмір музичного інтервалу) вимірюється не різницею, а часткою частот їхнього звучання. Математично підраховано: аби розділити октаву на дванадцять рівних частин (півтонів), кожний наступний півтон має бути вищим за попередній на корінь дванадцятого ступеня з двох, або приблизно на 1,059. В такому разі, збільшуючи частоту звучання основного тону дванадцять разів на це значення, частота збільшиться рівно вдвічі, тобто звук стане вищим на октаву. Проте існує й інший спосіб відносного вимірювання висоти — не в герцах (вібраціях), а в центах. Відстань між двома звуками, розділеними октавою, розбивається на 1200 частин (центів) за логарифмічною шкалою, і тоді відстань між будь-якими сусідніми півтонами складає 1/12 від розміру октави, тобто рівно 100 центів^[1].

Формула частот звукоряду

Математично вирахувати частоти для всього звукоряду можна за формулою:

${\displaystyle f(i)=f_{0}\cdot 2^{i/12}}$,

Де f₀ — частота камертону (наприклад Ля 440 Hz), а i — кількість півтонів в інтервалі від шуканого звуку до еталона f₀. Послідовність так обчислених частот створює геометричну прогресію.

Наприклад можна обчислити звук на цілий тон (два півтони) нижче від камертона Ля:

${\displaystyle i=-2}$

${\displaystyle f(-2)=440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{-2/12}\approx 391{,}995\,\mathrm {Hz} }$

Отримаємо соль. Якщо нам треба обчислити ноту соль, але на октаву вище (12 півтонів)

${\displaystyle i=12-2=10}$

${\displaystyle f(10)=440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{10/12}\approx 783{,}991\,\mathrm {Hz} }$

Принципові відмінності

Рівномірно темперований стрій відрізняється від інших строїв, що йому передували, способом побудови. Раніше європейскі ладові системи були "циклічними", тобто побудованими шляхом додавання акустично чистих інтервалів: піфагорійський стрій був накладанням чистих квінт на основний тон, а натуральний та середньотоновий додатково використовували чисті терції. Рівномірно темперований стрій, натомість, створювався шляхом поділення чистого інтервалу (октави) на частини^[1].

Октава є єдиним чистим інтервалом в рівномірно темперованому строї. Деякі з інших інтервалів поступалися чистим несуттєво: наприклад, темперована квінта була лише на 2 центи вужча за чисту^[1]. У інших різниця звучання із чистими була значно більшою, зокрема, мала та велика терції (та відповідні сексти) відрізнялися від чистих вже на 13 та 15 центів

Недоліками попередніх систем було те, що в тональностях, далеких від основної (з великою кількістю знаків альтерації), звучання ставало суттєво гіршим. Одна й та ж мелодія в основній тональності до мажор могла звучати чудово, але після транспозиції, наприклад, в сі мажор, який містить п'ять дієзів, з'являлося все більше інтервалів, що не були чистими, тож звучання тієї самої мелодії погіршувалося. Рівномірно темперований стрій вирішував цю проблему, рівновелико розподіляючи розбіжності у відстанях між тонами серед усіх 12 півтонів хроматичної гами^[1].

Частоти двох отриманих нот соль відрізняються удвічі, що дає чисту октаву. Переваги рівномірної темперації також у тому, що можна довільно транспонувати п'єсу на будь-який інтервал угору чи вниз, при цьому різниця для людей без розвиненого музикального слуху буде непомітною.

Поділ октави саме на дванадцять рівних частин має математичне обґрунтування. Як відомо, натуральний стрій використовує інтервали, які є досконалими консонансами, що їх побудовано на основі обертонів. Важливо, щоб і при рівномірній темперації ці інтервали відтворювались якомога точніше. Так, найважливіший з них — чиста квінта — відповідає відношенню частот 3:2. Якщо октаву розділено на n півтонів і квінта дорівнює k півтонам, то

${\displaystyle k/n=\log _{2}3/2}$.

У правій частині виразу — ірраціональне число, яке може бути виражено відношенням цілих чисел лише наближено. Використовуючи послідовні наближення ірраціональних чисел дробами, можна записати такі його значення: 1:1, 1:2, 3:5, 7:12, 24:41, 31:53 і т. д. Перші наближення неприйнятно грубі (у звукоряді залишається одна-єдина нота, або дві), останні навряд чи доцільно реалізовувати технічно (наприклад, 41 ладовий поріжок на половині довжини струни). Практично застосовують поділ октави або на п'ять (рівномірно темперована пентатоніка), або на дванадцять частин. Останній поділ дає задовільні наближення не лише для квінти й кварти, а й для інших інтервалів натурального строю.

Були спроби створення рівномірно-темперованого строю шляхом поділу на рівні частини не октави (інтервалу між тоном і його другою гармонікою), а дуодецими (інтервалу третьої гармоніки). Поділ дуодецими на тринадцять частин дає хороші наближення для інтервалів, що відповідають п'ятій, сьомій, дев'ятій гармонікам, які у класичному рівномірно-темперованому строї звучать фальшиво ^[2].

Порівняння з натуральним строєм

Рівномірно темперований стрій дуже легко можна відобразити у вигляді виміру інтервалів у центах:

Тон	C1	C#	D	Eb	E	F	F#	G	G#	A	B	H	C2
Цент	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Наступна таблиця демонструє різницю інтервалів рівномірно-темперованого строю з натуральним:

Інтервал	Значення в рівномірно-темперованому строї	Десяткове	Значення в натуральному строї	Різниця в центах
Прима	1	1,000000	1 = 1,000000	0,00
Мала секунда	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{1}}}={\sqrt[{12}]{2}}}$	1,059463	16/15 = 1,066667	−11,73
Велика секунда	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{2}}}={\sqrt[{6}]{2}}}$	1,122462	9/8 = 1,125000	−3,91
Мала терція	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{3}}}={\sqrt[{4}]{2}}}$	1,189207	6/5 = 1,200000	−15,64
Велика терція	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2}}}$	1,259921	5/4 = 1,250000	+13,69
Кварта	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{5}}}={\sqrt[{12}]{32}}}$	1,334840	4/3 = 1,333333	+1,96
Тритон	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{6}}}={\sqrt {2}}}$	1,414214	7/5 = 1,400000	+9,78
Квінта	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\sqrt[{12}]{128}}}$	1,498307	3/2 = 1,500000	−1,96
Мала секста	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{8}}}={\sqrt[{3}]{4}}}$	1,587401	8/5 = 1,600000	−13,69
Велика секста	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{9}}}={\sqrt[{4}]{8}}}$	1,681793	5/3 = 1,666667	+15,64
Мала септима	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{10}}}={\sqrt[{6}]{32}}}$	1,781797	16/9 = 1,777778	+3,91
Велика септима	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{11}}}={\sqrt[{12}]{2048}}}$	1,887749	15/8 = 1,875000	+11,73
Октава	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{12}}}={2}}$	2,000000	2/1 = 2,000000	0